lineare Unabhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:17 So 09.07.2006 | | Autor: | still86 |
| Aufgabe | Es seien [mm] \alpha, \beta, \gamma, \in \IR. [/mm] Beweisen Sie: Die Elemente
[mm] X_{1} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ \alpha \\ \alpha^{2} }
[/mm]
[mm] X_{2} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ \beta \\ \beta^{2} }
[/mm]
[mm] X_{3} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ \gamma \\ \gamma^{2} }
[/mm]
des reellen linearen Raumes [mm] \IR^{3} [/mm] sind genau dann linear unabhängig, wenn [mm] \alpha \not= \beta [/mm] , [mm] \beta \not= \gamma [/mm] und [mm] \alpha \not= \gamma. [/mm] |
Hallo, vielleicht könnt ihr mir mit der Aufgabe helfen. Weiß nicht wirklich wie ich die Aufgabe lösen soll.
Danke. Thomas.
|
|
| |
|
> Es seien [mm]\alpha, \beta, \gamma, \in \IR.[/mm] Beweisen Sie:
> Die Elemente
>
> [mm]X_{1}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ \alpha \\ \alpha^{2} }[/mm]
>
> [mm]X_{2}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ \beta \\ \beta^{2} }[/mm]
>
> [mm]X_{3}[/mm] = [mm]\vektor{1 \\ \gamma \\ \gamma^{2} }[/mm]
>
> des reellen linearen Raumes [mm]\IR^{3}[/mm] sind genau dann linear
> unabhängig, wenn [mm]\alpha \not= \beta[/mm] , [mm]\beta \not= \gamma[/mm]
> und [mm]\alpha \not= \gamma.[/mm]
Hallo!
Schreib' die Vektoren mal in die Spalten oder Zeilen einer Matrix A vom Typ (3,3) und berechne die Determinante nach Sarrus oder nach dem Entwicklungssatz von Laplace oder suche nach der Vandermonde-Determinante.
Setze Det(A) = 0, faktorisiere den Term recht fleißig und der Satz vom Nullprodukt liefert Dein gewünschtes Ergebnis. Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, falls [mm] Det(A)$\neq [/mm] 0$.
Zur Kontrolle:
[mm] \beta\,{\gamma}^{2}-{\beta}^{2}\gamma+\gamma\,{\alpha}^{2}-\alpha\,{
\gamma}^{2}+\alpha\,{\beta}^{2}-\beta\,{\alpha}^{2}
[/mm]
faktorisiert:
- [mm] \left( -\gamma+\beta \right) \left( \alpha-\gamma \right) \left(
\alpha-\beta \right)=0
[/mm]
Falls [mm] Det(A)$\neq [/mm] 0$, dann ist die Matrix regulär und die Zeilen/Spalten linear unabhängig.
Gruß
mathemak
|
|
|
|
