lineare (Un-)abhängigkeit < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:59 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Studi_AC |
| Aufgabe | sei V ein K-VR und S Teilmenge von V, dann sind äquivalent:
1. S ist linear unabhängig
2. jeder Vektor aus <s> lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von Elementen aus S schreiben. |
nach dem was ich bisher, hoffentlich richtig, gelernt habe ist, sagt man, wenn sich ein Vektor u als Linearkombination von anderen Vektoren zB v und w darstellen lässt, heißt u linear abhängig.
Mein Beispiel dazu : u= 1*v+1*w. also ist v+w -u= 0. So komm ich auf nichttriviale weise zum Nullvektor.
Richtig?
Jetzt kommt die äquivalenz die ich oben beschrieben habe neu dazu und ich versteh es nicht. da steht doch jetzt genau das gegenteil, oder etwa nicht? Wo liegt der Unterschied???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:46 Mo 06.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sei V ein K-VR und S Teilmenge von V, dann sind
> äquivalent:
> 1. S ist linear unabhängig
> 2. jeder Vektor aus <s>lässt sich in eindeutiger Weise als
> Linearkombination von Elementen aus S schreiben.
> nach dem was ich bisher, hoffentlich richtig, gelernt habe
> ist, sagt man, wenn sich ein Vektor u als Linearkombination
> von anderen Vektoren zB v und w darstellen lässt, heißt u
> linear abhängig.
>
> Mein Beispiel dazu : u= 1*v+1*w.
das bedeutet nur sowas wie $u [mm] \in \text{linspan}\{v,w\}\,.$
[/mm]
> also ist v+w -u= 0. So
> komm ich auf nichttriviale weise zum Nullvektor.
Klar: Wenn $u [mm] \in \text{linspan}\{v,w\}$ [/mm] ist, ist [mm] $\{u,v,w\}$ [/mm] linear abhängig.
> Richtig?
Was hat das aber mit obiger Aussage zu tun?
Erstens:
[mm] $S\,$ [/mm] ist linear unabhängig genau dann, wenn jede endliche Linearkombination
von Vektoren aus [mm] $S\,$ [/mm] genau dann den Nullvektor darstellen kann, wenn alle
Koeffizienten verschwinden.
D.h. sind [mm] $w_1,...,w_\ell \in S\,,$ [/mm] so ist [mm] $\sum_{j=1}^\ell \lambda_j w_j=0_V$ [/mm] genau dann, wenn [mm] $\lambda_1=...=\lambda_\ell=0_K\,.$
[/mm]
Diese Definition reduziert sich eigentlich auf [mm] "$\Rightarrow$", [/mm] da [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] in
dieser Aussage bekanntlich immer gilt: Aus [mm] $\lambda_1=...=\lambda_\ell=0_K$ [/mm] folgt
[mm] $$\sum_{j=1}^\ell \lambda_j w_j=0_V\,.$$
[/mm]
Zudem kann man, wenn [mm] $S\,$ [/mm] endlich ist, einfach direkt mit [mm] $\sum_{j=1}^{|S|}...$ [/mm] arbeiten...
> Jetzt kommt die äquivalenz die ich oben beschrieben habe
> neu dazu und ich versteh es nicht. da steht doch jetzt
> genau das gegenteil, oder etwa nicht? Wo liegt der
> Unterschied???
Verstehe erstmal die Aussage:
[mm] $$\{(1,0,0),\;(1,1,0)\} \subseteq \IR^3$$
[/mm]
ist linear unabhängig.
Beweise mal, dass sich hier jeder Vektor aus [mm] $\text{linspan}\{(1,0,0),\;(1,1,0)\}\;=\;<\{(1,0,0),\;(1,1,0)\}>$
[/mm]
in eindeutiger Weise als Linearkombination von Elementen aus [mm] $\{(1,0,0),\;(1,1,0)\}$
[/mm]
schreiben läßt.
Und danach überlege mal, wie das Ganze mit
[mm] $$\{(1,0,0),\;(1,1,0),\;(13,6)\}$$
[/mm]
aussieht...
Und um zurück zur obigen Aussage zu kommen:
Die Folgerung "2. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 1." ist trivial: Ist Sind [mm] $w_1,...,w_\ell \in [/mm] S$
so, dass
[mm] $\sum_{j=1}^\ell \lambda_j w_j=0_V$ [/mm]
gilt, so haben wir ja [mm] $\lambda_1=...=\lambda_\ell=0_K$ [/mm] nachzuweisen. Nun
ist aber sicher auch [mm] $\sum_{j=1}^\ell 0_K w_j=0_V\,.$ [/mm] Für den Nullvektor
[mm] $0_V \in [/mm] <S>$ gibt es aber nach Voraussetzung eine eindeutige ... Also...?
Wo Du also wirklich nur etwas zu tun hast, ist beim Beweis von "1. [mm] $\Rightarrow$ [/mm] 2."
Und in obiger Formulierung ist das nicht so trivial:
Sei [mm] $S\,$ [/mm] linear unabhängig. Sei $v [mm] \in \,.$ [/mm] Seien [mm] $w_1,...,w_M \in [/mm] S$ und [mm] $w_{M+1},...,w_{M+N} \in [/mm] S$
und es gebe Skalare [mm] $\lambda_1,...,\lambda_{M+N}$ [/mm] mit
[mm] $$(\*)\;\;\;\;\;\;v=\sum_{j=1}^M \lambda_j w_j\red{\;=\;}\sum_{j=M+1}^{M+N} \lambda_j w_j\,.$$
[/mm]
Klar ist schonmal, dass [mm] $\{w_1,...,w_M\}$ [/mm] und [mm] $\{w_{M+1},...,w_{M+N}\}$ [/mm] beides linear
unabhängige Teilmengen von [mm] $V\,$ [/mm] sind. (Warum?) Warum müssen
diese Mengen gleich sein?
Daraus folgt dann [mm] $N=M\,,$ [/mm] und ... ? Wieso kann man dann o.E. [mm] $w_{M+j}=w_j$ [/mm]
[mm] ($j=1,...,N\,$) [/mm] annehmen? (Wenn man jetzt genau ist, sollte man 'bei Umnummerierung'
auch die [mm] $\lambda_{M+j}$ $(j=1,...,N)\,$ [/mm] "mitnehmen"!)
Die "durch das rote Gleichheitszeichen markierte Gleichheit in [mm] $(\*)$" [/mm]
liefert dann eine Idee, den Nullvektor etwa rein als Linearkombination der
Elemente [mm] $w_1,...,w_N$ [/mm] zu schreiben. Aber [mm] $\{w_1,...,w_N\}$ [/mm] ist linear unabhängig. Was folgt dann?
Gruß,
Marcel
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