lineare (Un-) Abhängigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:21 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Untersuchen Sie die folgenden Vektormengen auf lineare Abhängigkeit und bestimmen Sie deren lineare Hülle L!
a) [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2}, \vektor{0 \\ 1 \\ 3}, \vektor{4 \\ 5 \\ 6}
[/mm]
Nachdem ich die Determinante [mm] \vmat{ 1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 6 } [/mm] berechnet habe, kam ich auf det A = 13 [mm] \not= [/mm] 0 => linear unabhängig
b) [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 3}, \vektor{4 \\ -3 \\ 0}, \vektor{-14 \\ 13 \\ 6}
[/mm]
det A = 0, d.h. linear abhängig
Wie bestimme ich nun die lineare Hülle von beiden? Dazu steht nichts weiter in meinen Unterlagen.
Lösung:
zu a) linear unabhängig, L = [mm] \IR^{3}
[/mm]
zu b) linear abhängig, z.B. [mm] \vektor{-14 \\ 13 \\ 6} [/mm] = 2 [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 3} [/mm] -3 [mm] \vektor{4 \\ -3 \\ 0}
[/mm]
L = { [mm] \vec{x} \in \IR^{3} |\vec{x} [/mm] = [mm] \alpha_{1} \vektor{-1 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \alpha_{2} \vektor{4 \\ -3 \\ 0}, \alpha_{1,2} \in \IR} [/mm] )
Und was bedeutet: Falls rang A = r < m , so existieren unter dem m Vektor genau r linear unabhängige Vektoren. (m ist die Zeilenanzahl)
Was ist dieser rang A?
Über jede Antwort bin ich sehr dankbar!
MfG Sue
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Mi 09.02.2005 | | Autor: | Hexe |
also die Lineare Hülle der Vektoren ist der kleinste lin Unterraum der die Vektoren enthält, also das Erzeugnis der lin. unabh. Vektoren, bei 3 lin unabh Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] ist das einfach, da die eine Basis bilden ist die lin. Hülle der ganze [mm] \IR^3 [/mm] Im 2. Fall muss ich nachdem ich festgestellt habe das die Determinante der Matrix 0 ist, diese näher untersuchen:
[mm] \pmat{-1&4&-14\\2&-3&13\\3&0&6} [/mm] = [mm] \pmat{-1&4&-14\\0&5&-15\\0&12&-36}= \pmat{-1&4&-14\\0&5&-15\\0&0&0}
[/mm]
Hieraus folgt, das die Matrix Rang 2 hat, da 2 lin. unabh. Zeilen übrig bleiben. Also sind 2 der Vektoren lin unabhg und deren Erzeugnis ist die lin Hülle der 3 Vektoren also z.B.
[mm] <\vektor{1\\2\\3},\vektor{4\\-3\\0}> [/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:17 Do 10.02.2005 | | Autor: | Sue20 |
Hallo!
Danke! Kannst du mir dieses Verfahren näher erklären, also wie du auf den Rang 2 gekommen bist?
Vielen Dank!
Sue
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Hallo Sue!
Den Rang bestimmt man ganz einfach, indem man die Matrix auf Stufenform bringt!
Bei unserem Beispiel beginnen wir also mit
[mm] \pmat{-1&4&-14\\2&-3&13\\3&0&6}
[/mm]
die erste Zeile bleibt stehen, und wir addieren zur zweiten zweimal die erste und zur dritten dreimal die erste und erhalten
[mm] \pmat{-1&4&-14\\0&5&-15\\0&12&-36}
[/mm]
jetzt bleibt die zweite fest und wir ziehen vom 5-fachen der dritten, das zwölf-fache der zweiten ab. es folgt
[mm] \pmat{-1&4&-14\\0&5&-15\\0&0&0} [/mm]
Die letzte Zeile fällt also weg, das heißt sie ließ sich auf eine Weise durch die beiden anderen darstellen!
Also besitzt die Matrix den Rang 2!
Du schaust also immer, wieviele Zeilen beim Umformen auf Stufenform ungleich 0 bleiben, und diese Anzahl gibt dir den Rang an.
Liebe Grüße
Ulrike
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