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| Aufgabe | Sei P= [mm] \{a_nx^n + ... + a_1x+a_0 | n \in \mathbb{N}_0 und a_0, ...., a_n \in \mathbb{Q}, a_n > 0 \} \subseteq \mathbb{Q}[x]. [/mm] Zeigen Sie, dass es auf [mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] eine lineare Ordnung gibt, bezüglich der [mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] ein geordneter Integritätsbereich mit dem zugehörigen Postivbereich P ist.
Ordnen Sie die Elemente
[mm] -x^2-9, -x^3+10 [/mm] und [mm] \bruch{2+x}{2-x}
[/mm]
der Größe nach. |
Hallo,
also ich habe mir nun erstmal die Definitionen zusammengesucht:
[mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] geordneter Integritätsbereich [mm] \Leftrightarrow [/mm] es ex. lineare Ordnung, s.d. für alle f(x), g(x), h(x) [mm] \in \mathbb{Q}[x] [/mm] gilt:
i) f(x)<g(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)+h(x) < g(x)+h(x)
ii) (f(x)<g(x) [mm] \wedge [/mm] 0<h(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)h(x)<g(x)h(x)
[mm] \le [/mm] heißt lineare Ordnung [mm] \Leftrightarrow \forall [/mm] f(x), g(x), h(x) [mm] \in \mathbb{Q}[x] [/mm] gilt:
i) f(x) [mm] \le [/mm] f(x)
ii) (f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \wege [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] f(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x)=g(x)
iii) (f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \wedge [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] h(x)) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) [mm] \le [/mm] h(x)
iv) f(x) [mm] \le [/mm] g(x) [mm] \vee [/mm] g(x) [mm] \le [/mm] f(x)
-----------------
Also ich muss doch nun erstmal zeigen, dass [mm] \le [/mm] eine lineare Ordnung für [mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] darstellt, oder? Und dann, dass [mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] ein geordneter Integritätsbereich ist. Also quasi nur die Axiome abarbeiten, richtig?
Danke schonmal für Antworten und beste Grüße
vom congo
[EDIT] Hups, habe gerade noch einen Zusatz in der Aufgabe vergessen, in dem steht, dass [mm] \le [/mm] die lineare Ordnung ist. Das brauche ich also nicht erst zu zeigen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:40 Fr 25.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei P= [mm]\{a_nx^n + ... + a_1x+a_0 | n \in \mathbb{N}_0 und a_0, ...., a_n \in \mathbb{Q}, a_n > 0 \} \subseteq \mathbb{Q}[x].[/mm]
> Zeigen Sie, dass es auf [mm]\mathbb{Q}[x][/mm] eine lineare Ordnung
> gibt, bezüglich der [mm]\mathbb{Q}[x][/mm] ein geordneter
> Integritätsbereich mit dem zugehörigen Postivbereich P
> ist.
>
> Ordnen Sie die Elemente
>
> [mm]-x^2-9, -x^3+10[/mm] und [mm]\bruch{2+x}{2-x}[/mm]
>
> der Größe nach.
Fuer $f, g [mm] \in \IQ[x]$ [/mm] gilt doch $f < g$ genau dann, wenn $g - f [mm] \in [/mm] P$ ist. Das kannst du doch ueberpruefen.
Und es gilt [mm] $\frac{a}{b} [/mm] < [mm] \frac{c}{d} \Leftrightarrow [/mm] a d < b c$, falls $0 < b, d$ ist; damit kannst du [mm] $\frac{2 + x}{2 - x}$ [/mm] bearbeiten.
LG Felix
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Danke für Deine Antwort!
Also ich habe dann jetzt so angefangen:
Seien f(x), g(x), h(x) [mm] \in \mathbb{Q}[x].
[/mm]
i) z.z.: f(x) < g(x) [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
Bew.: Sei f(x)<g(x)
[mm] \Rightarrow [/mm] g(x) - f(x) [mm] \in [/mm] P.
[mm] \Leftrightarrow [/mm] g(x) + h(x) - f(x) - h(x) [mm] \in [/mm] P
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
Ist das so ok?
ii) z.z.: (f(x)<g(x) [mm] \wedge [/mm] 0<z) [mm] \Rightarrow [/mm] xz<yz
Bew.:
Sei f(x)<g(x) [mm] \Rightarrow [/mm] g(x)-f(x) [mm] \in [/mm] P, sowie h(x) [mm] \in [/mm] P.
Also gilt ebenso h(x)(f(x)-g(x)) [mm] \in [/mm] P [mm] \Leftrightarrow [/mm] (h(x)f(x)-h(x)g(x)) [mm] \in [/mm] P.
[mm] \Rightarrow [/mm] f(x)h(x)<g(x)h(x).
[mm] \Rightarrow \mathbb{Q}[x] [/mm] geordneter Integritätsbereich. [mm] \Box
[/mm]
-------------------
Kann man das so machen, oder muss ich mir die Elemente von [mm] \mathbb{Q}[x] [/mm] so definieren, wie z.B. i(x):= [mm] b_nx^n+...+b_1x+b_0 [/mm] und das dann damit beweisen?
Gruß
congo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:47 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin.
> Also ich habe dann jetzt so angefangen:
>
> Seien f(x), g(x), h(x) [mm]\in \mathbb{Q}[x].[/mm]
>
> i) z.z.: f(x) < g(x) [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
> Bew.: Sei f(x)<g(x)
> [mm]\Rightarrow[/mm] g(x) - f(x) [mm]\in[/mm] P.
> [mm]\Leftrightarrow[/mm] g(x) + h(x) - f(x) - h(x) [mm]\in[/mm] P
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) + h(x) < g(x) + h(x)
>
> Ist das so ok?
Ja, das ist ok.
> ii) z.z.: (f(x)<g(x) [mm]\wedge[/mm] 0<z) [mm]\Rightarrow[/mm] xz<yz
Das hinten soll wohl $f(x) z(x) < g(x) z(x)$ heissen.
> Bew.:
> Sei f(x)<g(x) [mm]\Rightarrow[/mm] g(x)-f(x) [mm]\in[/mm] P, sowie h(x) [mm]\in[/mm]
> P.
Und es ist $h(x) = z(x)$?
> Also gilt ebenso h(x)(f(x)-g(x)) [mm]\in[/mm] P
Warum gilt das? Das musst du noch zeigen.
> [mm]\Leftrightarrow[/mm]
> (h(x)f(x)-h(x)g(x)) [mm]\in[/mm] P.
> [mm]\Rightarrow[/mm] f(x)h(x)<g(x)h(x).
Der Rest ist ok.
> [mm]\Rightarrow \mathbb{Q}[x][/mm] geordneter Integritätsbereich.
> [mm]\Box[/mm]
Du hast gezeigt: [mm] $\IZ[x]$ [/mm] ist ein geordneter Integritaetsbereich. Dass man die Ordnung auf [mm] $\IQ[x]$ [/mm] fortsetzen kann musst du noch begruenden (z.B. mit einem Resultat aus der Vorlesung, falls ihr sowas hattet).
> -------------------
>
> Kann man das so machen, oder muss ich mir die Elemente von
> [mm]\mathbb{Q}[x][/mm] so definieren, wie z.B. i(x):=
> [mm]b_nx^n+...+b_1x+b_0[/mm] und das dann damit beweisen?
Das brauchst du eventuell fuer den Teil, der noch fehlt.
LG Felix
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Nochmal ne andere Frage....zur zweiten Aufgabe.
Wenn ich jetzt diese Elemente ordne...
[mm] -x^2-9+x^3-10=x^3-x^2-19
[/mm]
Ist das nun Element von P, da der Koeffizient von [mm] x^3 [/mm] postiv ist? Also wäre [mm] -x^2-9 [/mm] größer als [mm] -x^3+10, [/mm] richtig?
Gruß
congo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:44 Sa 26.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin
> Nochmal ne andere Frage....zur zweiten Aufgabe.
>
> Wenn ich jetzt diese Elemente ordne...
>
> [mm]-x^2-9+x^3-10=x^3-x^2-19[/mm]
>
> Ist das nun Element von P, da der Koeffizient von [mm]x^3[/mm]
> postiv ist? Also wäre [mm]-x^2-9[/mm] größer als [mm]-x^3+10,[/mm]
> richtig?
Ja.
LG Felix
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