lineare Mannigfaltigkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi2all,
ich versuche mir gerade "lineare Mannigfaltigkeit" zu verstehen und bin auf ein paar Schwierigkeiten gestoßen:
Bei all meinen Suche finde ich immer "affiner Raum", ist das das gleiche?
Lineare Mannigfaltigkeiten sind doch verschobene Unterräume (v+U), wo ist der unterschied zu Faktorraum?
Was ist der "zugehörige Unterraum?"
Vielen Dank
der unwissende
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Ja, die Begriffe "lineare Mannigfaltigkeit" und "affiner Unterraum" bezeichnen dasselbe, wobei das letztere eigentlich der Begriff ist, der mir bis vor kurzem geläufiger war, und wie Du schon richtig bemerkt hast, läßt sich jeder affine Unterraum schreiben als "Neben-" oder "Restklasse", zu einem linearen Unterraum U, also sowas wie v+U mit v aus dem Vektorraum.
Es handelt sich also in der Tat um einen "verschobenen" Unterraum.
Wenn wir also einen affinen Unterraum A=v+U haben, dann ist U der zugehörige lineare Unterraum, dieser ist eindeutig bestimmt und wird auch als "Richtungsraum" von A (in Zeichen: L(A)) bezeichnet.
Der Unterschied zum Faktorraum V/U (sprich: "V modulo U") ist folgender:
Der Faktorraum ist einfach die Menge aller Nebenklassen zum Unterraum U,
also die Menge aller Mengen v+U mit v aus V.
Ich hoffe, ich konnte mich verständlich genug ausdrücken, anderenfalls kannst Du ja nochmal nachfragen, dann kann ich dir auch noch Beispiele dazu geben.
Gruß,
Christian
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Vielen Dank für die schnelle und kompetente Antwort
Nur ein paar Verständnisfragen:
Wie sieht es mit der Dimension aus?
Ist diese einfach gleich der Dimension des Unterraums
Kann man sagen, dass z.B. der "zugehörige Unterraum" zu der linearen Mannigfaltigkeit y=kx+d (in [mm] $\IR^2$ [/mm] ) eigentlich y=kx ist?
Wenn dem so ist, wie sieht der "zugehörige Unterraum" zu einem Punkt aus?
mfg,
Martin
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Hallo nochmal.
Ja, die Dimension wird einfach gleich der des Richtungsraums gesetzt.
Und zu einem affinen Unterraum der Form "y=kx+b" (man sollte nicht vergessen, daß es sich um eine Menge handelt), ist der zugehörige Richtungsraum natürlich y=kx.
Wenn man nun als affinen Unterraum einen Punkt a ungleich 0 hat, so kann man ihn natürlich trivialerweise auch so schreiben:
[mm] \{a \}= a+\{0 \}[/mm], und [mm] \{0 \}[/mm] ist ja der kleinste lineare Unterraum, den wir uns vorstellen können...
Gruß,
Christian
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herzlichen Dank für die super schnele beantwortung!
Und jetzt noch die aller letzte Frage:
Kann [mm] \emptyset [/mm] eine Mannigfaltigkeit sein?
mfg,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:01 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Nein, nach dieser Definition nicht, da ein Unterraum wenigstens ein Element, nämlich die Null, besitzt.
Schau dir mal ![[]](/images/popup.gif) das hier (Aufgabe 2, beachte insbesondere die Lösung zu g)) genauer an, dort findest du zahlreiche (Gegen-)Beispiele zu linearen Mannigfaltigkeiten.
Der allgemeine Begriff der (topologischen oder differenzierbaren) Mannigfaltigkeit ist wesentlich komplizierter und wird dir in der Regel erst im Mathe-Hauptstudium begegnet.
Liebe Grüße
Stefan
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