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lineare Gleichungssysteme: Aufgabe? Hilfe!!
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:04 So 17.04.2005
Autor: Icebear

Hallo zusammen,

Ich rechne gerade einen Übungszettel durch, aber ich diese letzte verdammte Aufgabe bekomme ich einfach nicht gelöst ! Kann mir jemand nen Tipp geben bzw. helfen?

Aufgabe 4:

Bestimmen Sie alle t € (reele Zahlen) für die das folgende System eine Lösung bzw. mehr als eine Lösung bzw. keine Lösung hat.

[mm] 2x_{1} [/mm] + [mm] 3x_{2} [/mm] + t * [mm] x_{3} [/mm] = 3
[mm] x_{1} [/mm]  + [mm] x_{2} [/mm] -  [mm] x_{3} [/mm]     = 1
[mm] x_{1} [/mm]  + t * [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm]  = 2

Also für keine Lösung haate ich t=2 aber ich glaube das ist falsch.

Bin ich echt so ne Nuss?:)

Thomas

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
lineare Gleichungssysteme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:29 So 17.04.2005
Autor: Bastiane

Hallo Thomas!
Bist du sicher, dass dein Math. Background stimmt? Als Mathelehrer sollte man so etwas eigentlich wissen! ;-)

> Aufgabe 4:
>  
> Bestimmen Sie alle t € (reele Zahlen) für die das folgende
> System eine Lösung bzw. mehr als eine Lösung bzw. keine
> Lösung hat.
>  
> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + t * [mm]x_{3}[/mm] = 3
>  [mm]x_{1}[/mm]  + [mm]x_{2}[/mm] -  [mm]x_{3}[/mm]     = 1
>  [mm]x_{1}[/mm]  + t * [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm]  = 2
>  
> Also für keine Lösung haate ich t=2 aber ich glaube das ist
> falsch.

Wäre nicht schlecht, wenn du dazu sagen würdest, wie du auf deine Lösung kommst! :-)

Also ich würde das Gauß-Verfahren anwenden, ich erhalte da am Ende folgende Matrix: (kann aber sein, dass ich mich irgendwo vertan habe)

[mm] \pmat{1&1&-1&| 1 \\0&1&t+2&| 1 \\0&0&2-(t-1)(t+2)\\|2-t} [/mm]

(Sorry, dass das nicht besser aussieht - ich hoffe, du weißt, was ich meine...)
Nun hat dein Gleichungssystem genau eine Lösung, wenn 2-(t-1)(t+2)=2-t, das kann man dann nach t auflösen.

Kommst du nun weiter?

Viele Grüße
Bastiane
[banane]


Bezug
        
Bezug
lineare Gleichungssysteme: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:35 So 17.04.2005
Autor: Zwerglein

Hi, icebear,

> [mm]2x_{1}[/mm] + [mm]3x_{2}[/mm] + t * [mm]x_{3}[/mm] = 3
>  [mm]x_{1}[/mm]  + [mm]x_{2}[/mm] -  [mm]x_{3}[/mm]     = 1
>  [mm]x_{1}[/mm]  + t * [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{3}[/mm]  = 2
>  

Hast Du's mit Gauß probiert? Mach' das mal!

> Also für keine Lösung hatte ich t=2 aber ich glaube das ist
> falsch.

Also: Wenn ich die Determinante der linken Seite ausrechne, krieg' ich:
[mm] t^{2}+t-4=0. [/mm]
Die daraus resultierenden Werte für t sind grauslich!
Entweder, ich hab' mich verrechnet, oder Du hast irgendwo falsch abgeschrieben!  

Bevor ich also weitermache: Schau noch mal nach!

Manno: Hab's vorhin vergessen zu senden!

Bezug
                
Bezug
lineare Gleichungssysteme: seltsames Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:13 So 17.04.2005
Autor: mathrix

Hi Zwerglein,


ich habe mich vorhin an die Aufgabe "rangewagt" und bin auch auf dein [mm]t^2 + t - 4 = 0[/mm] gekommen und entsprechend auch auf komische Werte für die Stellen, an denen es keine Lösung gibt *freu* :-)

Ich bin gespannt, was das Ergebnis ist, denn irgendwie verstehe ich noch nicht, wann es genau eine Lösung gibt und wann unendlich viele.


Gruß und gute n8,

mathrix

Bezug
                        
Bezug
lineare Gleichungssysteme: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:06 Mo 18.04.2005
Autor: Zwerglein

Hi, mathrix,

also, da Du auch auf [mm] t^{2}+t-4=0 [/mm] gekommen bist,
hab' ich damit weitergerechnet:
[mm] t_{1/2} [/mm] = [mm] \bruch{-1\pm\wurzel{17}}{2}. [/mm]
Für diese beiden Werte von t ist die Lösungsmenge leer, für alle anderen gibt es jeweils genau 1 Lösung.

Die berechnet man beim Gauß-Verfahren "von unten nach oben":

Nach bastianes Ergebnis wäre da schon mal:
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \bruch{t - 2}{t^{2}+t-4} [/mm]

[mm] x_{2} [/mm] und [mm] x_{1} [/mm] kannst Du sicher selbst berechnen!

Bezug
                                
Bezug
lineare Gleichungssysteme: Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:34 Mo 18.04.2005
Autor: mathrix

Hi Zwerglein,


als Lösung habe ich folgendes erhalten:

[mm]L = \{(t^2+t-6 , t , t-2) (t^2+t-4)^{-1}; t \in \IR\}[/mm]

Ich denke, dass es stimmt (habe auch eine Probe durchgeführt), ihr braucht es also nicht zu bestätigen.

Danke und schönen Abend,

mathrix

Bezug
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