lineare Differentialgleichung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:28 Do 20.09.2012 | | Autor: | unibasel |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Differentialgleichung:
[mm] y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=e^{x^{2}}logx, [/mm] x>0
a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung durch Trennung der Veränderlichen.
b) Verwenden Sie die Methode der Variation der Konstanten um die Lösung der inhomogenen GLeichung zu ermitteln für die y(1)=1 gilt. |
a) Nun da dies die erste Vorlesung (Numerik der Differentialgleichungen) war, haben wir noch keinerlei richtigen Stoff bzw. Material dazu.
Trennung der Variablen kenne ich, aber bin momentan ratlos, wie ich es auf diese Gleichung anwenden soll:
[mm] \frac{dy}{dx}=e^{x^{2}}logx-\bruch{2x^{2}-1}{x}y
[/mm]
Nun soll ich ja die Gleichung ausmultiplizieren und nach y auflösen... Aber wie mache ich das?
b) Diese Methode kenne ich nicht, habe einmal gegoogelt:
allg. Lösung der homogenen DGL:
[mm] y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=0
[/mm]
müsste das so aussehen? Und wie weiter?
Also ich bin wie man sieht, völlig ratlos. Und der liebe Herr Professor gab uns weder ein Skript noch Infos dazu (ist ja auch die erste Vorlesung).
mfg und danke für die Hilfe schonmal! Wäre sehr dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:37 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die lineare Differentialgleichung:
> [mm]y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=e^{x^{2}}logx,[/mm] x>0
>
> a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der homogenen
> Gleichung durch Trennung der Veränderlichen.
> b) Verwenden Sie die Methode der Variation der Konstanten
> um die Lösung der inhomogenen GLeichung zu ermitteln für
> die y(1)=1 gilt.
> a) Nun da dies die erste Vorlesung (Numerik der
> Differentialgleichungen) war, haben wir noch keinerlei
> richtigen Stoff bzw. Material dazu.
>
> Trennung der Variablen kenne ich, aber bin momentan ratlos,
> wie ich es auf diese Gleichung anwenden soll:
> [mm]\frac{dy}{dx}=e^{x^{2}}logx-\bruch{2x^{2}-1}{x}y[/mm]
Du sollst die homogene Gleichung , also die Gleichung
$ [mm] y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=0 [/mm] $
mit Trennung der Variablen lösen !!!
>
> Nun soll ich ja die Gleichung ausmultiplizieren und nach y
> auflösen... Aber wie mache ich das?
>
> b) Diese Methode kenne ich nicht, habe einmal gegoogelt:
> allg. Lösung der homogenen DGL:
> [mm]y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=0[/mm]
> müsste das so aussehen? Und wie weiter?
Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung sieht so aus:
[mm] y(x)=Ce^{h(x)}, [/mm] (C [mm] \in \IR)
[/mm]
wobei Du die Funktion h noch bestimmen mußt (das geschieht in Aufgabenteil a)).
Für eine spezielle Lösung [mm] y_s [/mm] der inhomogenen Gl. machst Du den Ansatz
[mm] y_s(x)=C(x)e^{h(x)}.
[/mm]
Gehe mit diesem Ansatz in die Dgl. ein und bestimme die Funktion C(x) und dann [mm] y_s(x).
[/mm]
Die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. sieht dann so aus:
[mm] y(x)=Ce^{h(x)}+y_s(x) [/mm] (C [mm] \in \IR)
[/mm]
Bestimme nun C so, dass y(1)=1 gilt.
Das ist das Programm, das Du abarbeiten mußt.
FRED
>
> Also ich bin wie man sieht, völlig ratlos. Und der liebe
> Herr Professor gab uns weder ein Skript noch Infos dazu
> (ist ja auch die erste Vorlesung).
>
> mfg und danke für die Hilfe schonmal! Wäre sehr dankbar.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:42 Do 20.09.2012 | | Autor: | unibasel |
> Du sollst die homogene Gleichung , also die Gleichung
>
> [mm]y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=0[/mm]
>
> mit Trennung der Variablen lösen !!!
Ach so, da darf man also die rechte Seite weglassen..Sorry stand auf dem Schlauch.
>
> >
> > Nun soll ich ja die Gleichung ausmultiplizieren und nach y
> > auflösen... Aber wie mache ich das?
> >
> > b) Diese Methode kenne ich nicht, habe einmal gegoogelt:
> > allg. Lösung der homogenen DGL:
> > [mm]y'+\bruch{2x^{2}-1}{x}y=0[/mm]
> > müsste das so aussehen? Und wie weiter?
>
>
> Die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung sieht so
> aus:
>
> [mm]y(x)=Ce^{h(x)},[/mm] (C [mm]\in \IR)[/mm]
>
> wobei Du die Funktion h noch bestimmen mußt (das geschieht
> in Aufgabenteil a)).
>
> Für eine spezielle Lösung [mm]y_s[/mm] der inhomogenen Gl. machst
> Du den Ansatz
>
> [mm]y_s(x)=C(x)e^{h(x)}.[/mm]
>
> Gehe mit diesem Ansatz in die Dgl. ein und bestimme die
> Funktion C(x) und dann [mm]y_s(x).[/mm]
>
> Die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl. sieht dann so
> aus:
>
> [mm]y(x)=Ce^{h(x)}+y_s(x)[/mm] (C [mm]\in \IR)[/mm]
>
> Bestimme nun C so, dass y(1)=1 gilt.
>
> Das ist das Programm, das Du abarbeiten mußt.
>
> FRED
Ja ich probiere es sicher, wenn ich Teil a) verstanden habe... Danke.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Do 20.09.2012 | | Autor: | unibasel |
Sieht also so aus:
[mm] \bruch{y'}{y}+\bruch{2x^{2}-1}{x}=0
[/mm]
[mm] \bruch{y'}{y}= -\bruch{2x^{2}-1}{x}
[/mm]
[mm] \bruch{\bruch{dy}{dx}}{y}= -\bruch{2x^{2}-1}{x}
[/mm]
[mm] dy\bruch{1}{y}=-\bruch{2x^{2}-1}{x}\bruch{1}{dx}
[/mm]
Und jetzt Integrieren?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Do 20.09.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sieht also so aus:
>
> [mm]\bruch{y'}{y}+\bruch{2x^{2}-1}{x}=0[/mm]
>
> [mm]\bruch{y'}{y}= -\bruch{2x^{2}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\bruch{dy}{dx}}{y}= -\bruch{2x^{2}-1}{x}[/mm]
>
> [mm]dy\bruch{1}{y}=-\bruch{2x^{2}-1}{x}\bruch{1}{dx}[/mm]
Vielleicht hast Du Dich nur verschrieben, richtig lautet es:
[mm]dy\bruch{1}{y}=-\bruch{2x^{2}-1}{x}dx}[/mm]
>
> Und jetzt Integrieren?
Ja
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:59 Do 20.09.2012 | | Autor: | unibasel |
Ja logisch sorry!
Herzlichen Dank.
Also bin ich auf dem richtigen Weg! Danke :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:47 Do 20.09.2012 | | Autor: | unibasel |
So ich bin also auf Folgendes gekommen:
[mm] \integral{\bruch{1}{y}}dy=\integral{-\bruch{2x^{2}-1}{x}}dx
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y}dy [/mm] integriert: logy
[mm] -\bruch{2x^{2}-1}{x}dx [/mm] integriert: [mm] logx-x^{2}+C
[/mm]
y(x)= [mm] e^{logx-x^{2}+C}, [/mm] C [mm] \in \IR
[/mm]
hmm...?
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Hallo unibasel,
> So ich bin also auf Folgendes gekommen:
>
> [mm]\integral{\bruch{1}{y}}dy=\integral{-\bruch{2x^{2}-1}{x}}dx[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{y}dy[/mm] integriert: logy
Erstmal ist doch [mm] $\int{\frac{1}{y} \ dy} [/mm] \ = \ [mm] \ln(\red |y\red [/mm] |)$
> [mm]-\bruch{2x^{2}-1}{x}dx[/mm] integriert: [mm]logx-x^{2}+C[/mm] (![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") )
[mm] $\ln(|x|)-x^2+c$
[/mm]
>
> y(x)= [mm]e^{logx-x^{2}+C},[/mm] C [mm]\in \IR[/mm]
Ja, mit Beträgen ...
Dann wende die bekannten Potenzgesetze an rechterhand, dann bekommst du eine multiplikative Konstante [mm] $\tilde [/mm] c$ ....
>
> hmm...?
Ja. Nur weiter ...
Forme noch etwas um (baue die Beträge vorher ein und werde sie korrekt los!), dann die AB einsetzen und du bist durch ...
Gruß
schachuzipus
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