lineare DGL 2. Ord. Aufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 00:36 Sa 25.10.2014 | | Autor: | NFL_ |
Verfahrensbeschreibung
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Man kann eine partikuläre Lösung einer linearen Differentialgleichung zweiter Ordnung :
[mm]
-u''(t) + p(t)u'(t) + q(t)u(t) = f(t) \\
[/mm]
mit der Methode von Cauchy bestimmen. Dazu bestimmt man für [mm] s [/mm] aus dem zugrundeliegenden Intervall [mm](a, b) [/mm] die Koeffizienten [mm] c_{1}, c_{2} [/mm] aus der algemeinen Lösung der homogenen Gleichung :
[mm]
u_{hom}(t) = c_{1}u_{1}(t) + c_{2}u_{2}(t)\\
[/mm]
derart, dass [mm]u_{hom}(s) = 0[/mm] und [mm]u'_{hom}(s) = -f(s)[/mm] ist. Dann wird mit der so gewonnenen Lösung [mm] u_{hom}(\cdot;s) [/mm] durch
[mm]
u_{p}(t) = \integral_{t_{0}}^{t} u_{hom}(t;s)\, ds
[/mm]
eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung konstruiert.
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Hi, ich weiss bei dieser Aufgabe nicht was [mm] u_{1}, c_{1}, u_{2}, c_{2} [/mm] in der Gleichung [mm] u_{hom} [/mm] sein soll. Etwa [mm] u_{1} [/mm] = u'(t), [mm] c_{1} [/mm] = p(t), ... ?
Ich hab eine Aufgabe die ich nach dieser Methode lösen soll und weiss nicht ob ich die Gleichung für [mm] u_{hom} [/mm] so nehmen soll wie sie da steht ? Bin dankbar für jeden hinweis :) danke schon mal im vorraus :)
PS. : Was der Punkt in [mm] u_{hom}(*; [/mm] s) bedeutet würde mich auch interessieren ... hat das Semikolon eine spezielle Bedeutung ? ich kenn an der Stelle nur Kommas ... :) nochmal danke an alle die sich meiner merkwürdigen Fragen annehmen ... :)
EDIT : Hab die Aufgabe vorher als Bild angefügt, jetzt abgetippt da das Bild gespert wurde.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 Sa 25.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo
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> Hi, ich weiss bei dieser Aufgabe nicht was [mm]u_{1}, c_{1}, u_{2}, c_{2}[/mm]
> in der Gleichung [mm]u_{hom}[/mm] sein soll. Etwa [mm]u_{1}[/mm] = u'(t),
> [mm]c_{1}[/mm] = p(t), ... ?
Nein, [mm] $\{u_1, u_2\}$ [/mm] ist ein Fundamentalsystem der zugehörigen homogenen Gleichung, [mm] $c_1$, $c_2$ [/mm] sind skalare, sodass die Gleichungen [mm] $u_{hom}(s)=0$, [/mm] $u'_{hom}(s)=-f(s)$ erfüllt sind.
Ich mach mal ein einfaches Beispiel: p=q=0, f=-cos, dann ist [mm] $c_1+c_2 [/mm] s=0$, [mm] $c_2=\cos(s)$ [/mm] und [mm] $u_{hom}(t;s)=-s\cos(s)+t\cos(s)$
[/mm]
> Ich hab eine Aufgabe die ich nach dieser Methode lösen
> soll und weiss nicht ob ich die Gleichung für [mm]u_{hom}[/mm] so
> nehmen soll wie sie da steht ? Bin dankbar für jeden
> hinweis :) danke schon mal im vorraus :)
>
> PS. : Was der Punkt in [mm]u_{hom}(*;[/mm] s) bedeutet würde mich
> auch interessieren ... hat das Semikolon eine spezielle
> Bedeutung ? ich kenn an der Stelle nur Kommas ... :)
> nochmal danke an alle die sich meiner merkwürdigen Fragen
> annehmen ... :)
Die Funktionen [mm] $f_s$ [/mm] mit [mm] $f_s(t)\equiv u_{hom}(t; [/mm] s)$ sind für jedes [mm] $s\in [/mm] (a,b)$ Lösungen der homogenen Gleichung, anders gesagt: [mm] $u_{hom}$ [/mm] ist als Funktion der ersten Variablen eine Lösung der homogenen Gleichung (für jeden Wert der zweiten Variable), deshalb der Punkt an erster Stelle.
Ob man da ein "," oder ein ";" zwischen den Argumenten setzt, ist Geschmackssache. Ein Semikolon wird wohl deshalb verwendet, weil die Argumente hier einen anderen "Charakter" haben.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:01 Sa 25.10.2014 | | Autor: | NFL_ |
Hey danke für deine Mühe :), ich weiss was ein Fundamentalsystem ist aber ich hab keine Ahnung wie du auf deine Lösung gekommen bist. Könntest du mir vieleicht dein Vorgehen etwas konkreter beschreiben ?
EDIT : Muss ich hier mit dem Potenzreihenansatz erst das Fundamentalsystem [mm] $u_{hom}(t)$ [/mm] bestimmen und dann das GLS
[mm] \begin{matrix}
u_{hom}(s) = 0 \\
u'_{hom}(s) = -f(s) \\
\end{matrix}
[/mm]
lösen ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 25.10.2014 | | Autor: | andyv |
> EDIT : Muss ich hier mit dem Potenzreihenansatz erst das
> Fundamentalsystem [mm]u_{hom}(t)[/mm] bestimmen und dann das GLS
>
> [mm]\begin{matrix}
u_{hom}(s) = 0 \\
u'_{hom}(s) = -f(s) \\
\end{matrix}[/mm]
>
> lösen ?
>
>
Ja, wobei es dir überlassen ist, wie du das FS [mm] $\{u_1,u_2\}$ [/mm] bestimmst. Potenzreihenansatz ist nicht immer das sinnvollste.
Liebe Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 So 26.10.2014 | | Autor: | NFL_ |
Ok, ich wäre dann noch dankbar für einen tip für den Ansatz zu der DGL :
[mm] \begin{matrix}
t^{2}(1-t)u''(t) + 2t(2-t)u'(t) + 2(1+t)u(t) = \bruch{1}{1-t}\\
\end{matrix}
[/mm]
davon muss ich ja dann vom der homogenen Gleichung also :
[mm] \begin{matrix}
u''(t) = - \bruch{2t(2-t)u'(t) + 2(1+t)u(t)}{
t^{2}(1-t)} \\
\end{matrix}
[/mm]
ein Fundamentalsystem bestimmen, richtig ?
Wäre der Potenzreihenansatz gut ?
Oder mach ich das für ein festes $s$ so das dann die koeffizentenfunktionen zu Konstanten werden ? (Das war gerade sone Eingebung, kann auch Blödsinn sein ^^ )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:41 So 26.10.2014 | | Autor: | andyv |
Ich weiß jetzt nicht genau, was du mit irgendeinem s machen willst. Das Ziel ist es jedenfalls zunächst ein Fundamentalsystem. Das funktioniert hier ganz gut mit einem Potenzreihenansatz.
Liebe Grüße
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