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Hallo,
ich möchte folgende DGL lösen: 2y''+4y'+10y=x.
Als Lösung habe ich [mm] y(x)=e^{-x}cos(2x)+e^{-x}sin(-2x)+\bruch{1}{50}(10x-4)
[/mm]
was bei der Probe aber 2x ergibt.
Richtig wäre laut WolframAlpha: [mm] y(x)=e^{-x}cos(2x)+e^{-x}sin(-2x)+\bruch{1}{50}(5x-2)
[/mm]
Ich habe schon zweimal nachgerechnet, komme aber immer wieder auf [mm] \bruch{1}{50}(10x-4)
[/mm]
Hier mal mein Rechenweg in Kürze:
charakteristische Gleichung:
[mm] 2\lambda^2+4\lambda+10=0
[/mm]
=> [mm] \lambda=-1+2i [/mm] & [mm] \overline{\lambda}=-1-2i
[/mm]
=> [mm] y_1(x)=e^{-x}cos(-2x) [/mm] und [mm] y_2(x)=e^{-x}sin(-2x)
[/mm]
Für die partikuläre Lösung:
[mm] y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)
[/mm]
Nach Satz:
[mm] c_k(x)=(-1)^{n+k}\integral_{}^{}{\bruch{det y_{nk}(x)}{det y(x)}b(x) dx}
[/mm]
[mm] y_{nk}(x) [/mm] -> entsteht aus y(x) durch Streichen der n-ten Zeile und der k-ten Spalte.
[mm] y(x)=\pmat{ e^{-x}cos(-2x) & e^{-x}sin(-2x) \\ -e^{-x}cos(-2x)+2e^{-x}sin(-2x) & -e^{-x}sin(-2x)-2e^{-x}cos(-2x) }
[/mm]
[mm] dety(x)=-2e^{-2x}
[/mm]
[mm] dety_{n1}(x)=y_2(x)
[/mm]
[mm] dety_{n2}(x)=y_1(x)
[/mm]
=> [mm] c_1(x)=-\bruch{1}{50}e^x((5x+3)sin(2x)+(4-10x)cos(2x))
[/mm]
[mm] c_2(x)=-\bruch{1}{50}e^x(2(5x-2)sin(2x)+(5x+3)cos(2x))
[/mm]
=> [mm] y(x)=y(x)=e^{-x}cos(2x)+e^{-x}sin(-2x)+\bruch{1}{50}(10x-4)
[/mm]
Vielleicht sieht einer meinen Fehler.
Gruß LordPippin
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Hallo LordPippin,
> Hallo,
> ich möchte folgende DGL lösen: 2y''+4y'+10y=x.
> Als Lösung habe ich
> [mm]y(x)=e^{-x}cos(2x)+e^{-x}sin(-2x)+\bruch{1}{50}(10x-4)[/mm]
> was bei der Probe aber 2x ergibt.
> Richtig wäre laut WolframAlpha:
> [mm]y(x)=e^{-x}cos(2x)+e^{-x}sin(-2x)+\bruch{1}{50}(5x-2)[/mm]
>
> Ich habe schon zweimal nachgerechnet, komme aber immer
> wieder auf [mm]\bruch{1}{50}(10x-4)[/mm]
>
> Hier mal mein Rechenweg in Kürze:
>
> charakteristische Gleichung:
> [mm]2\lambda^2+4\lambda+10=0[/mm]
> => [mm]\lambda=-1+2i[/mm] & [mm]\overline{\lambda}=-1-2i[/mm]
> => [mm]y_1(x)=e^{-x}cos(-2x)[/mm] und [mm]y_2(x)=e^{-x}sin(-2x)[/mm]
>
> Für die partikuläre Lösung:
> [mm]y_p(x)=c_1(x)y_1(x)+c_2(x)y_2(x)[/mm]
> Nach Satz:
> [mm]c_k(x)=(-1)^{n+k}\integral_{}^{}{\bruch{det y_{nk}(x)}{det y(x)}b(x) dx}[/mm]
>
> [mm]y_{nk}(x)[/mm] -> entsteht aus y(x) durch Streichen der n-ten
> Zeile und der k-ten Spalte.
>
> [mm]y(x)=\pmat{ e^{-x}cos(-2x) & e^{-x}sin(-2x) \\ -e^{-x}cos(-2x)+2e^{-x}sin(-2x) & -e^{-x}sin(-2x)-2e^{-x}cos(-2x) }[/mm]
>
> [mm]dety(x)=-2e^{-2x}[/mm]
>
> [mm]dety_{n1}(x)=y_2(x)[/mm]
> [mm]dety_{n2}(x)=y_1(x)[/mm]
>
> => [mm]c_1(x)=-\bruch{1}{50}e^x((5x+3)sin(2x)+(4-10x)cos(2x))[/mm]
> [mm]c_2(x)=-\bruch{1}{50}e^x(2(5x-2)sin(2x)+(5x+3)cos(2x))[/mm]
>
> =>
> [mm]y(x)=y(x)=e^{-x}cos(2x)+e^{-x}sin(-2x)+\bruch{1}{50}(10x-4)[/mm]
>
> Vielleicht sieht einer meinen Fehler.
Offenbar hast Du bei der Berechnung der [mm]c_{k}, \ k=1,2[/mm] für
[mm]b\left(x\right)=x[/mm]
verwendet.
Das ist nicht richtig.
Verwendest Du bei der Berechnung der [mm]c_{k}, \ k=1,2[/mm] für
[mm]b\left(x\right)=\red{\bruch{1}{2}}x[/mm]
, dann kommt auch das heraus, was Wolfram-Alpha zu Tage fördert.
Kurzum, Du musst dafür sorgen, daß der Koeffizient vor y'' zu 1 wird.
>
> Gruß LordPippin
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:43 Fr 28.01.2011 | | Autor: | LordPippin |
Vielen Dank, MathePower.
Ich habe tatsächlich vergessen die DGL in die richtige Form zu bringen (Koeffizient vor y'' war die ganze Zeit 2). Nur bei der charakteristischen Gleichung ist es ja egal, weshalb es mir nicht auffiel.
Gruß
LordPippin
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