lineare Approximation < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:09 So 29.04.2007 | | Autor: | detlef |
Hallo,
wenn ich a= 1.02^(3.01) mit der linearen Approximation f(x,y) = [mm] x^y [/mm] in einer Umgebung [mm] (x_0,y_0) [/mm] annähern will mit:
f(x;y) = [mm] f(x_0;y_0) [/mm] + [mm] f'(x_0;y_0)*((x-x_0);(y-y_0)) [/mm] + Rest
Ist dann der Ableitungsvektor eine Spalte oder eine Zeile?
detlef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du die Funktionalmatrix meinst, dann ist das dann eine 1*2 Matrix, also ein Zeilenvektor, wenn du so willst.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:53 So 29.04.2007 | | Autor: | detlef |
ja das meine ich, aber wie kommt man darauf, woher weiss man, welche Form die Funktionalmatrix hat? Also wieviele Zeilen und Spalten?
ich habe nämlich auch sowas:
f(x,y) = [mm] x^2+3*x*y [/mm]
und da ist der Ableitungsvektor ein Spaltenvektor????
Heißt es mxn oder nxm Matrix wobei m=Zeilen
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 So 29.04.2007 | | Autor: | detlef |
Also ganz ausführlich:
1 Fall:
Näherungswert für a= 1.02^(3.01) mit Hilfe der Funktion f(x;y) = [mm] x^y [/mm] an der Stelle (1,3)
(wurde an die Tafel so geschrieben)
->1.02^(3.01) = 1+ [mm] (3,0)*\vektor{0.02 \\ 0.03} [/mm] = 1.06
Mir ist nicht klar, wieso die Ableitung ein Zeilenvektor ist!
Fall2:
Berechne die Richtungsableitung der Fuinktion f(x,y,z) = x*y*cosz
am Punkt [mm] (1,3,pi/2)^T [/mm] in Richtung [mm] v=1/sqrt(3)*(1,1,1)^T
[/mm]
Da ist der Gradient ein Spaltenvektor mit drei Zeilen:
f = [mm] \vektor{0 \\ 0\\-3}
[/mm]
Rechnung ist klar, aber wieso Spalte?
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:04 So 29.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wenn du eine Funktion gegeben hast und diese Ableiten sollst, dann gibt es einmal die partiellen Ableitungen und die totale Ableitung. Die totale Ableitung ist die lineare Abbildung, die die Funktion in einer Umgebung eines Punktes approximiert. Bei Abbildungen zwischen [mm] IR^{n} [/mm] und [mm] IR^{m} [/mm] ist diese lineare Abbildung (also die totale Ableitung) gegeben durch die Funktionalmatrix. Matrizen induzieren ja lineare Abbildungen. Wie sich die Funktionalmatrix berechnet findest du hier:http://de.wikipedia.org/wiki/Funktionalmatrix
Die Funktionalmatrix hat immer m Zeilen und n Spalten, ist also eine n*m Matrix.
Dann gibt es noch die Vektordifferentialopereatoren der klassischen Vektoranalysis. Sie entstehen durch verschiedene Vektoroperationen mit dem [mm] Nabla-Vektor=(\bruch{\patial}{\partialx^{i}}). [/mm] Wird Nabla mit einer skalaren Funktion sklar multipliziert, so entsteht der Gradient, der manchmal auch als "Ableitung" einer Funktion bezeichnet wird. Der Gradient ist aber nicht die totale Ableitung.
Allerdings gibt es einen simplen Zusammenhang. Wenn du nämlich von f(x,y) die Funktionalmatrix bildest, so steht da:
[mm] Df(x,y)=(f_{x},f_{y}).
[/mm]
Der Gradient wäre:
grad f= [mm] \vektor{f_{x} \\ f_{y}}
[/mm]
Die FunktionalMATRIX ist IMMER eine Matrix. Oben hat sie aber die Form eines Zeilenvektors. Der Gradient ist IMMER ein Spaltenvektor. Schreibt man aber die Funktionalmatrix als Spaltenvektor, so erhält man den Gradienten. Fast man umgekehrt den Gradienten als Zeilenvektor auf, so erhält man die Funktionalnmatrix. Das gilt natürlich nur im Fall von skalaren Funktionen.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:03 So 29.04.2007 | | Autor: | detlef |
also kann ich
(3,0) * [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] schreiben oder [mm] \vektor{3 \\ 0}*\vektor{x \\ y}
[/mm]
das ist das gleiche?
detlef
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> also kann ich
>
> (3,0) * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] schreiben oder [mm]\vektor{3 \\ 0}*\vektor{x \\ y}[/mm]
>
> das ist das gleiche?
Hallo,
wie Du es schreibst, hängt davon ab, wie Du multiplizieren möchtest.
Variante 1 paßt, wenn Du die Vektoren als Matrizen auffaßt und Zeile*Spalte multiplizierst,
Variante 2, wenn Du das "normale" Skalarprodukt nimmst.
Der Effekt ist in beiden Fällen gleich: 3x.
Jetzt kommt die "Realmathematik" ins Spiel: mach' es doch so, wie Ihr es in der Vorlesung vorgemacht bekommen habt.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:27 Mo 30.04.2007 | | Autor: | detlef |
Ja, dass ist die Sache, ich habe beides schon gesehen, wie in meiner Mitteilung zu lesen ist und deshalb weiss ich nicht, wie es korrekt ist!?
Bei dem Ableitungsvektor sollen ja die partiellen Ableitungen stehen, aber ich dachte da würde es eine Regel geben, wenn von [mm] R^3 [/mm] -> R, dann ist die Ableitungsmatrix eine 3x1 Matrix und so? Gibt es sowas?
Oder ist das so, dass es bei Spalten und Zeilenvektoren "egal" ist, weil man beides mal das gleiche Ergebnis erhält? Die Regel ist entscheidend für z.b. [mm] R^2->R^2 [/mm] ?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:57 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
orientier dich doch einfach an der Funktionalmatrix, dann kann nichts schief gehen. Die angesprochene Ableitung wäre dann eine 1*3 (1 Zeile, 3 Spalten) Matrix.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Mo 30.04.2007 | | Autor: | detlef |
Was heißt denn an der Funktionalmatrix orientieren?
Bei
1)
f(x,y,z) = x*y*cosz
Das ist ja [mm] R^3 [/mm] -> R
Wie lautet der Ableitungsvektor, wenn ich die Richtungsableitung in Richtung v haben möchte?
Ich Script von uns ist daraus ein Spaltenvekotr geworden (eine Spalte, drei Zeilen)
2)f(x,y) = [mm] x^2+3*x*y [/mm] in Richtung h
Ist eine Spalte mit zwei Zeilen der Ableitungsvektor
[mm] R^2->R
[/mm]
die beiden kann ich nachvollziehen, wenn die Regel lautet: aus [mm] R^3->R [/mm] wird eine Ableitungsvektor von 1x3 Matrix, das passt ja beim ersten Beispiel
jetzt kommt das dritte Beispiel, was nicht mit dem zweiten übereinstimmt:
3)f(x,y) = [mm] x^y
[/mm]
da ist der Ableitungsvektor eine zeile mit zwei spalten, das passt ja nicht zu 2)
detlef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:30 Mo 30.04.2007 | | Autor: | detlef |
hallo,
versteht ihr mein Problem? einmal ist bei [mm] R^2->R [/mm] die Ableitung eine Spalte und das andere Mal eine Zeile?!
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:49 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Ich wollte die Frage beantworten hab dann aber das Fenster versehentlich weg und dann konnte ich nicht mehr zum Fenster kommen, wo man die Antwort schreiben muss. Ich hab die Frage jetzt unter einer anderen Frage versucht zu beantworten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Welche Ableitung meinst du denn? Die totale oder die Richtungsableitung. Die totale Ableitung ist eine Matrix, die Richtungsableitung ist von Natur aus ein Vektor (also ein Spaltenvektor). Nur schreibt man für Spaltenvektoren, also auch für die Funktionalmatrix wenn sie ein Spaltenvektor ist oder für die Richtungsableitung als Zeilenvektoren um z.B. in Lehrbüchern oder auf dem Papier Platz zu sparen, macht aber meistens um es korrekt zu machen ein hoch t an den Vektor, welches symbolisiert, dass es sich bei dem Zeilenvektor um einen Spaltenvektor handelt.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:54 Mo 30.04.2007 | | Autor: | detlef |
Ja wohl, danke!
also ich es bei der Richtungsableitung egal, ob Spalte oder Zeile!
noch eine Frage:
wie kann man sowas vereinfachen:
f(x,y) = (1,1) + [mm] \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }*\vektor{x-1 \\ y-1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Mo 30.04.2007 | | Autor: | Hund |
Du kannst das höchstens ausmultiplizieren. Anders sehe ich keine Vereinfachung.
Gruß
Hund
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Mi 02.05.2007 | | Autor: | detlef |
ich bin da so unsicher gerade, wie multipiziert man das aus?
z.b. [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 } [/mm] * [mm] \vektor{x \\ y}
[/mm]
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> ich bin da so unsicher gerade, wie multipiziert man das
> aus?
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> z.b. [mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
>
Hallo,
"Zeile x Spalte":
[mm]\pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }[/mm] * [mm]\vektor{x \\ y}[/mm][mm] =\vektor{1.Zeile x 1.Spalte \\ 2.Zeile x 1.Spalte }=\vektor{1*x + 2*y\\ 3*x + 4*y}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:10 Mi 02.05.2007 | | Autor: | detlef |
ok danke, das eine soll sicherlich ein y sein!
detlef
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http://de.wikipedia.org/wiki/Gradient_(Mathematik)