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| Aufgabe | Sind folgende Vektoren linear abhängig?
[mm] \vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vec{b}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{c}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] |
Hallo!
Ich kann mich nicht mehr erinnern, wie man die lineare Abhängigkeit dreier Vektoren ausrechnen kann. Wie funktioniert das?
Ich selbst habe so begonnen:
[mm] r*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Dann habe ich 3 Gleichungen aufgestellt:
I. r+s=0
II. r+t=0
III. 0=0
Was muss ich jetzt rechnen? Vielen Dank:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 So 26.05.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Sind folgende Vektoren linear abhängig?
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> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vec{b}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{c}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
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> Hallo!
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> Ich kann mich nicht mehr erinnern, wie man die lineare
> Abhängigkeit dreier Vektoren ausrechnen kann. Wie
> funktioniert das?
bei drei Vektoren im 3D-Raum geht das recht einfach mittels ![[]](/images/popup.gif) Determinante.
Gruß,
notinX
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> Sind folgende Vektoren linear abhängig?
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> [mm]\vec{a}=\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vec{b}=\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, \vec{c}=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}[/mm]
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> Hallo!
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> Ich kann mich nicht mehr erinnern, wie man die lineare
> Abhängigkeit dreier Vektoren ausrechnen kann. Wie
> funktioniert das?
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> Ich selbst habe so begonnen:
> [mm]r*\vektor{1 \\ 1 \\ 0}+s*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}+t*\vektor{0 \\ 1 \\ 0}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> Dann habe ich 3 Gleichungen aufgestellt:
> I. r+s=0
> II. r+t=0
> III. 0=0
>
> Was muss ich jetzt rechnen? Vielen Dank:)
Hallo,
wenn dieses Gleichungssystem nun nur die eine einzige Lösung r=s=t=0 hat, sind die Vektoren linear unabhängig,
wenn es noch mindestens eine andere Lösung gibt, sind sie linear abhängig.
Schauen wir mal nach:
Dein Gleichungssystem oben wird z.B. auch von r=1, s=-1, t=-1 gelöst.
Also sind die Vektoren linear abhängig.
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Drei Vektoren [mm] \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} [/mm] heißen linear abhängig, wenn man mindestens einen von ihnen als Linearkombination der anderen schreiben kann.
Du kannst also auch prüfen, ob eine der Gleichungen
[mm] r\vec{a}+s\vec{b}=\vec{c},
[/mm]
[mm] r\vec{a}+s\vec{c}=\vec{a},
[/mm]
[mm] r\vec{c}+s\vec{b}=\vec{a}
[/mm]
eine Lösung hat.
Bei Deinen Vektoren sieht man schnell, daß [mm] \vec{a}=1*\vec{b}+1*\vec{c}.
[/mm]
Damit weißt Du, daß sie linear abhängig sind.
LG Angela
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