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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:47 Di 01.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Tut mir leid habe schon wieder eine Frage! Ein bisschen Hilfe in Form eines Tipps wäre besser als eine Lösung meines Problems.
Ok also los:
Sei A: V [mm] \to [/mm] V ein Endomorph. eines endlich-dimen. Vektorraumes V.
Zu zeigen Äquivalenz folgender Aussagen
(i) Bild (A) [mm] \cap [/mm] Kern (A)
(ii) V= Bild (A) [mm] \oplus [/mm] Kern (A)
(iii) Kern (A) = Kern [mm] (A^{2})
[/mm]
von ii nach i ist kein Problem (Ok zugegeben ist ja auch total einfach)
Also wenns geht erstmal nur einen kleinen Tipp in welche Richtung ich meine Grauenzellen zu bewegen habe.
Dann lieben Dank! Mr.Coffee
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:07 Di 01.03.2005 | | Autor: | bazzzty |
Ich gehe mal davon aus, daß es heißen sollte:
(i) [mm] Bild(A) \cap Kern(A)=\emptyset[/mm]
Dann weiter im Ringschluß:
Warum folgt aus (i) (iii)?
Daß [mm] Kern(A)\subseteq Kern(A^2)[/mm] ist wohl klar.
Was wäre aber, wenn es ein Element [mm]x\in Kern(A^2)\setminus Kern(A)[/mm] gäbe, also [mm]Ax\neq 0[/mm], aber [mm] A^2x=0[/mm]? Was würde das für das Element [mm]Ax[/mm] bedeuten?
Hoffe, das hilft.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:29 Mi 02.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo Bazzzty
Es soll heißen
Bild(A) [mm] \cap [/mm] Kern(A) = 0
aber deine Antwort paßt dennoch. Denn Ax würde gelten dass es sowohl Element des Kerns als auch des Bildes wäre und darus würde folgen dass der Schnitt [mm] \not= [/mm] 0 wäre. Also dann noch mal danke !
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ich denk mal das heisst eher imA [mm] \cap [/mm] kerA = {0}. in diesem fall solltest du dir klarmachen was das impliziert, denn imA und kerA sind Unterräume von V.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 02.03.2005 | | Autor: | MrCoffee |
Hallo Calabi-jau
Ich steh noch ein bisschen auf dem Schlauch. Das einizige was für mich daraus folgt ist Bild(A) [mm] \oplus [/mm] Kern(A) aber wie kriege ich die Kurve dass diese direkte Summe dann = V ist ?
Ansonsten ist alles klar mir fällt nur noch von i nach ii. Nochmal Danke für deine Hilfe finde ich echt nett.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mi 02.03.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Naja, du hast ja mit der Dimensionsformel für Unterräume und der Dimensionsformel für lineare Abbildungen:
[mm] $\dim(Bild(A)+Kern(A))$
[/mm]
[mm] $=\dim(Bild(A)) [/mm] + [mm] \dim(Kern(A)) [/mm] - [mm] \underbrace{\dim(Bild(A) \cap Kern(A))}_{=\, 0}$
[/mm]
[mm] $=\dim(Bild(A)) [/mm] + [mm] \dim(Kern(A))$
[/mm]
[mm] $=\dim(V)$.
[/mm]
Es gilt also:
$Bild(A) + Kern(A) [mm] \subset [/mm] V$
und
[mm] $\dim(Bild(A) [/mm] + [mm] Kern(A))=\dim(V)$.
[/mm]
Daraus folgt:
$Bild(A) + Kern(A) = V$,
und damit:
$V = Bild(A) [mm] \oplus [/mm] Kern(A)$.
Viele Grüße
Stefan
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da du ja nur tipps wolltest, klick die seite wieder weg, außer du willst ne 'lösung' sehen (vielleicht ne lösung). die teillösung von stefan war schon sehr schön, ich habs gestern um 12 nachts etwas anders gemacht, wär nett wenn das jemand korrekturlesen würde.
i=>ii
es gilt: kerA [mm] \subseteq [/mm] V ist UVR und imA [mm] \subseteq [/mm] V ist UVR
es gibt also 3 fälle:
1) kerA [mm] \subset [/mm] imA UVR
2) imA [mm] \subset [/mm] ker A UVR
3) imA=kerA
dann:
1) => kerA={0} => A inj. => imA=V => ii
2) => imA={0} => kerA=V => ii
3) => kerA=imA={0}=V => ii
ii=>i
formal
i=>iii
fälle wie oben
1) kerA={0}
sei a aus V und A(A(a))=0 => A(a)=0 => a=0 => iii
2) imA={0} => kerA=V
A(A(V))=A(0)=0 => ker(A*A)=V => iii
3) kerA{0} => iii wegen 1)
iii=>i
sei v aus kerA [mm] \cap [/mm] imA
also v aus kerA und v aus imA
=> A(v)=0 und es ex. ein w aus V mit A(w)=v
es gilt A(A(w))=A(v)=0
=> w ist aus ker(A*A)
=> wegen iii ist w aus kerA
=> A(w)=0
=> v=0
damit wäre alles gezeigt, falls der beweis richtig ist. ich hab ihn absichtlich kurz gehalten, wenn es also fragen zum beweis gibt, kann ich sie beantworten...
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