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| Aufgabe | | Ich habe eine Basis gegeben und Bilder von jedem Basisvektor, jetzt soll ich die Abbildungsvorschrift bestimmen. |
Hi,
kann mir da jemand nen Tipp geben?
Merci, Stefan.
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Hallo,
die Spalten der Matrix $\ A$, die durch die lin. Abbildung eindeutig bestimmt ist, sind die Koordinaten der Bilder der Basisvektoren der Urbildmenge.
D.h. die Spalten von $\ A $ sind gerade die Koordinaten der Bilder $\ [mm] \varphi(v_i) [/mm] $. $\ [mm] v_i [/mm] $ mit $\ i = 1,2,3,...,n $ sind die $\ n $ Basisvektoren deines Urbildbereichs.
Grüße
ChopSuey
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Jo, das hatte ich auch.
Nur wie bekomme ich jetzt die Abbildungsvorschrift aus der Abbildungsmatrix?
Danke, Stefan.
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Hi,
hast du die Matrix $\ A $ denn schon ermittelt? Durch $\ v [mm] \mapsto [/mm] Av $ hast du doch eine eindeutige Funktionsvorschrift.
ChopSuey
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| Aufgabe | Hier noch mal die komplette Aufgabenstellung:
[mm] $V:=K^{2\times 2}$, [/mm] $K$ Körper.
[mm] $B=\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right):=\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 &1 \\ 0 & 1 }\right)$.
[/mm]
Es sei [mm] $\phi:V\to K^{1\times 3}$ [/mm] die lineare Abbildung, die durch
[mm] $$\phi(b_1)=(1,1,0),\phi(b_2)=(0,1,0),\phi(b_3)=(0,0,0),\phi(b_4)=(0,0,1)$$
[/mm]
definiert ist.
Berechnen Sie [mm] $\phi\left(\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\right)$ [/mm] für [mm] $a_{ij}\in [/mm] K$. |
Na ja, es sind doch einfach die Bilder der Basisvektoren als Spalten:
[mm] $A:=\pmat{ 1 & 0&0&0 \\ 1 & 1&0&0\\0&0&0&1 }$
[/mm]
Richtig?
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> Hier noch mal die komplette Aufgabenstellung:
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> [mm]V:=K^{2\times 2}[/mm], [mm]K[/mm] Körper.
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> [mm]B=\left(b_1,b_2,b_3,b_4\right):=\left(\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 },\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 },\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 },\pmat{ 0 &1 \\ 0 & 1 }\right)[/mm].
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> Es sei [mm]\phi:V\to K^{1\times 3}[/mm] die lineare Abbildung, die
> durch
>
> [mm]\phi(b_1)=(1,1,0),\phi(b_2)=(0,1,0),\phi(b_3)=(0,0,0),\phi(b_4)=(0,0,1)[/mm]
>
> definiert ist.
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> Berechnen Sie [mm]\phi\left(\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\right)[/mm]
> für [mm]a_{ij}\in K[/mm].
> Na ja, es sind doch einfach die Bilder
> der Basisvektoren als Spalten:
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> [mm]A:=\pmat{ 1 & 0&0&0 \\ 1 & 1&0&0\\0&0&0&1 }[/mm]
>
> Richtig?
Hallo,
die Matrix A ist die Darstellungsmatrix der Abbildung [mm] \phi [/mm] bzgl. der Basen B des [mm] K^{2\times 2} [/mm] und der kanonischen Basis [mm] E_3 [/mm] des [mm] K^3, [/mm] in "meiner" Schreibweise: [mm] _{E_3}M(\phi)_B.
[/mm]
Du könntest mit ihrer Hilfe erstmal die Darstellungsmatrix bzgl der kanonischen Basis B' des [mm] K^{2\times 2} [/mm] aufstellen, und dann den Koordinatenvektor des Bildes von [mm] \vektor{a_1_1\\a_1_2\\a_2_1\\a_2_2}, [/mm] welchen Du dann wieder als Matrix schreibst.
Ich würde aber ganz naiv folgenden Weg wählen:
schreib die Matrix [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }\right [/mm] als Linearkombination der Basisvektoren von B, wende [mm] \Phi [/mm] darauf an und nutze die Linearität der Funktion.
Gruß v. Angela
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Danke,
[mm] $a_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+a_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+a_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+a_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }$
[/mm]
[mm] $\Phi\left(\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }\right)$
[/mm]
und nu?
bin iwie ratlos
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> Danke,
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> [mm]a_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+a_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+a_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+a_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }[/mm]
>
> [mm]\Phi\left(\pmat{ a_1+a_2+a_3 & a_2+a_4 \\ a_3 & a_1+a_4 }\right)[/mm]
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> und nu?
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> bin iwie ratlos
Hallo,
das kommt daher, daß Du meinen Rat nicht richtig befolgt hast.
Vielleicht liest Du nochmal, was ich gesagt habe: welche Matrix sollst Du als Linearkombination wovon schreiben, und was sollst Du anschließend tun?
Gruß v. Angela
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Sorry, Angela, ist schon was spät ;)
$ [mm] x_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+x_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+x_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+x_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}} [/mm] $
So, oder?
bin grad was ängstlich
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> Sorry, Angela, ist schon was spät ;)
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> [mm]x_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+x_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+x_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+x_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 }=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}}[/mm]
>
> So, oder?
Hallo,
ja, und die [mm] x_i [/mm] mußt Du jetzt berechnen.
Und wenn Du sie hast, nutzt Du die Linearität:
[mm] \phi(\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}})=\phi(x_1\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }+x_2\pmat{ 1 & 1 \\ 0 & 0 }+x_3\pmat{ 1 & 0 \\ 1 & 0 }+x_4\pmat{ 0 & 1 \\ 0 & 1 })= x_1\phi(\pmat{ 1 & 0 \\ 0& 1 }) [/mm] +... usw.
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> bin grad was ängstlich
Es kann doch nicht viel passieren...
Gruß v. Angela
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