lineare Abbildung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Do 11.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
| Aufgabe | | Es sei V ein K-vektrorraum und [mm] \delta: [/mm] V --> V eine lineare Abbildung derart, dass für alle v eV die Vektroren v und [mm] \delta [/mm] (v) linear abhängig sind. zeigen sie, dass dann ein [mm] \alpha [/mm] eK existiert, so dass [mm] \delta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] id. |
Ich habe mir bisher zu der Aufgabe überlegt, dass es durch die lineare abhängigkeit ja ein [mm] \gamma1*\gamma [/mm] 2 geben muss dass gilt: [mm] \gamma1(v) +\gamma2(\delta(v) [/mm] = 0
aber jetzt weiß ich nicht weiter wie ich an die aufgabe rangehen soll... könntet ihr mir vlt weiterhelfen? oder mir vlt einfach einen Tipp geben könntet?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Do 11.12.2008 | | Autor: | fred97 |
Wir können davon ausgehen, dass dimV [mm] \ge [/mm] 2 ist.
Ist v [mm] \in [/mm] V , so gibt es nach Vor. ein [mm] \alpha_v [/mm] in K mit :$ [mm] \delta(v) [/mm] = [mm] \alpha_v [/mm] v$.
Zeige nun , dass die Zuordnung v --> [mm] \alpha_v [/mm] auf V konstant ist.
Dazu mußt Du natürlich die Linearität von [mm] \delta [/mm] benutzen.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Do 11.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
ja das verstehe ich schonmal so weit.. nur ich weiß jetzt ehrlich gesagt immernoch nicht wie ich dass zeige, dass die zurordnung konstant ist.
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> ja das verstehe ich schonmal so weit.. nur ich weiß jetzt
> ehrlich gesagt immernoch nicht wie ich dass zeige, dass die
> zurordnung konstant ist.
Hallo,
was hast Du denn bisher unternommen?
Da Du es mit einem VR zu tun hast, gibt es eine Basis.Daß für jeden Basisvektor sein Bild ein Vielfaches des Vektors sein muß, würde schon festgestellt.
[mm] \delta(v)=a_vv
[/mm]
Jetzt nimm Dir eine beliebige endliche Teilmenge [mm] (b_1,...,b_n) [/mm] der Basisvektoren.
Verwende die Linearität der Abbildung. Was folgt?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:19 Do 11.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
ehrlich gesagt.. keine ahnung.. sitz hier voll aufem schlauch
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:41 Do 11.12.2008 | | Autor: | Achtzig |
ehrlich gesagt.. keine ahnung.. sitz hier voll aufem schlauch
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> ehrlich gesagt.. keine ahnung.. sitz hier voll aufem
> schlauch
Hallo,
daß Du "voll aufem" Schlauch sitzt, liefert keinerlei Hinweise darauf, wie man Dir helfen kann und wo genau Dein Problem liegt.
Ich hatte Dir ja schon Hinweise gegeben, und ich sehe keine Spur davon, daß Du irgendwie versucht hast, diese umzusetzen.
Ohne Bewegung von Deiner Seite wird wohl nix durch den Schlauch fließen können.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich würde bei dieser Aufgabe nicht unbedingt mit Basen arbeiten wollen, weil nicht gesagt ist, dass es sich um endliche Vektorräume handelt.
Also es ist doch so, du hast eine lineare Abbildung [mm] \delta [/mm] mit der Eigenschaft, dass $v$ und [mm] \delta(v) [/mm] linear abhängig sind (für alle [mm] $v\in [/mm] V$) und du sollst jetzt zeigen, dass dann [mm] \delta [/mm] quasi ein Vielfaches der Identität ist, also dass jeder Vektor der reingesteckt wird einfach nur mit einem [mm] $\alpha \in [/mm] K$ multipliziert wird.
Was du genau zeigen musst ist, dass jeder Vektor mit dem gleichen [mm] $\alpha \in [/mm] K$ multipliziert wird.
Sei also
[mm] $\delta(v)=\alpha_v*v$ [/mm] und
[mm] $\delta(w)=\alpha_w*w$
[/mm]
dann ist zu zeigen [mm] \alpha_v=\alpha_w, [/mm] das heißt der Faktor mit dem die Vektoren aus $V$ multipliziert werden soll für alle Vektoren gleich sein.
Jetzt solltest du die Linearität von [mm] \delta [/mm] in Form von [mm] \delta(v+w) [/mm] ins Spiel bringen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Do 11.12.2008 | | Autor: | rafael |
also habe ne frage zu der selben Aufgabe reicht es wirklich zu zeigen das
[mm] \delta [/mm] = [mm] \alpha*id [/mm] wieder linear unabhängig wir also wohldefiniert ist ?
habe das mal aufgeschrieben und sieht ein wenig wenig aus ;)
aber sieht so ganz richtig aus bin nur eben nicht sicher :)
thx schonmal und eine schöne restwoche :)
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> also habe ne frage zu der selben Aufgabe reicht es wirklich
> zu zeigen das
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\alpha*id[/mm] wieder linear unabhängig wir also
> wohldefiniert ist ?
> habe das mal aufgeschrieben und sieht ein wenig wenig aus
> ;)
> aber sieht so ganz richtig aus bin nur eben nicht sicher :)
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
ob das , was Du stehen hast, reicht, kann man ja nur entscheiden, wenn man sieht, was Du dastehen hast.
Dies hier
> [mm]\delta[/mm] = [mm]\alpha*id[/mm] wieder linear unabhängig wir also
> wohldefiniert ist ?
stimmt mich skeptisch.
Was meinst Du mit der linearen Unabhängigkeit von [mm] \delta[/mm] [/mm] = [mm]\alpha*id[/mm].
Und worauf hebst Du mit der Wohldefiniertheit ab?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Do 11.12.2008 | | Autor: | rafael |
oops ich habe mich ein wenig vertan mit der wohldefiniertheit
ich wahr eigentlich auf
[mm] \delta [/mm] (v) = [mm] \alpha [/mm] * v
[mm] \delta [/mm] (w)= [mm] \alpha [/mm] * w
zuzeigen :
[mm] \alpha_{v} [/mm] = [mm] \alpha_{w}
[/mm]
aus
[mm] \delta [/mm] (v+w) = [mm] \alpha [/mm] v + [mm] \alpha [/mm] w
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] (v+w) = [mm] \alpha [/mm] (v+w) , somit ist [mm] \alpha_{v} [/mm] = [mm] \alpha_{w}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] (id), da id ja für alle beliebeigen vektoren steht die ich einbauen will und delta immer nur ein vielfaches dieser Vektoren seien soll
so sieht das bei mir dann aus
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> oops ich habe mich ein wenig vertan mit der
> wohldefiniertheit
> ich wahr eigentlich auf
> [mm]\delta[/mm] (v) = [mm]\alpha[/mm] * v
> [mm]\delta[/mm] (w)= [mm]\alpha[/mm] * w
> zuzeigen :
> [mm]\alpha_{v}[/mm] = [mm]\alpha_{w}[/mm]
> aus
> [mm]\delta[/mm] (v+w) = [mm]\alpha[/mm] v + [mm]\alpha[/mm] w
> [mm]\Rightarrow \delta[/mm] (v+w) = [mm]\alpha[/mm] (v+w) , somit ist
> [mm]\alpha_{v}[/mm] = [mm]\alpha_{w}[/mm]
> [mm]\Rightarrow \delta[/mm] = [mm]\alpha[/mm] (id), da id ja für alle
> beliebeigen vektoren steht die ich einbauen will und delta
> immer nur ein vielfaches dieser Vektoren seien soll
> so sieht das bei mir dann aus
Hallo,
das ist noch etwas chaotisch aus dem Grund, daß Du doch, wie Du selbst schreibst, zeigen möchtest, daß [mm] a_v=a_w [/mm] sein muß, Du aber nirgendwo [mm] a_v [/mm] und [mm] a_w [/mm] verwendest.
Man muß das alles noch etwas zurechtziehen.
Zeigen will man doch folgendes:
Man hat eine lin. Abbildung [mm] \delta, [/mm] die jeden Vektor auf ein Vielfaches von sich selbst abbildet, die also so abbildet, daß es für jedes [mm] v\in [/mm] V ein [mm] a_v [/mm] gibt mit f(v)=a_vv.
Dann gibt es ein a so, daß f(v)=av für alle [mm] v\in [/mm] V gilt.
Beweis: Seien v,w [mm] \in [/mm] V, [mm] v\not=w.
[/mm]
Nach Voraussetzung gibt es [mm] a_v [/mm] und [mm] a_w [/mm] mit
f(v)=a_vv und
f(w)=a_ww.
1. Fall: v und w sind linear abhängig, dh. es ist [mm] v=\lambda [/mm] w
Zeige, daß f(w)=a_vw sein muß.
2. Fall: v und w sind linear unabhängig.
Es ist
a_vv+a_ww=f(v)+f(w)= f(v+w)= ...
Jetzt führe hier die Argumentation weiter.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 11.12.2008 | | Autor: | rafael |
da v = w * [mm] \lambda [/mm] ist
ist w = v / [mm] \lambda
[/mm]
also für den linear abhängigen fall bekomme ich nun
[mm] \delta [/mm] (v) = [mm] \alpha [/mm] _{v} * v | v = w * [mm] \lambda [/mm] einsetzen
[mm] \delta [/mm] (v) = [mm] \alpha_{v} [/mm] * w * [mm] \lambda
[/mm]
[mm] \delta [/mm] (v) = [mm] \lambda (\alpha_{v} [/mm] * w)
[mm] \delta [/mm] (v) / [mm] \lambda [/mm] = [mm] \alpha_{v} [/mm] * w (tut mir leid ich habe keinen bruchstrich gefunden von daher ist / mein bruchstrich)
[mm] \delta [/mm] (v / [mm] \lambda) [/mm] = [mm] \alpha_{v} [/mm] * w | w = v / [mm] \lambda [/mm] einsetzen
[mm] \delta [/mm] (w) = [mm] \alpha_{v} [/mm] * w
[mm] \Rightarrow \delta [/mm] = [mm] \alpha [/mm] * id
[mm] \box
[/mm]
damit wäre der fall für linear abhängig bewiesen hoffe ich
in der Aufgabe steht allerdings, dass v und [mm] \delta(v) [/mm] linear abhängig sind muss ich diesen Fall dann überhaupt zeigen ?
Wenn ich es für lineare Unabhängigkeit beweise
[mm] \delta [/mm] (v + w) = [mm] \delta [/mm] (v) + [mm] \delta [/mm] (w) = [mm] \alpha_{v} [/mm] * v + [mm] \alpha_{w} [/mm] * w
= 0
[mm] \Rightarrow \alpha_{v} [/mm] = 0 [mm] \wedge \alpha_{w} [/mm] = 0, da v,w sonst linear abhängig wären
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> da v = w * [mm]\lambda[/mm] ist
> ist w = v / [mm]\lambda[/mm]
Für [mm] \lambda\not=0
[/mm]
> also für den linear abhängigen fall bekomme ich nun
> [mm]\delta[/mm] (v) = [mm]\alpha[/mm] _{v} * v | v = w *
> [mm]\lambda[/mm] einsetzen
> [mm]\delta[/mm] (v) = [mm]\alpha_{v}[/mm] * w * [mm]\lambda[/mm]
> [mm]\delta[/mm] (v) = [mm]\lambda (\alpha_{v}[/mm] * w)
> [mm]\delta[/mm] (v) / [mm]\lambda[/mm] = [mm]\alpha_{v}[/mm] * w (tut mir leid ich
> habe keinen bruchstrich gefunden von daher ist / mein
> bruchstrich)
> [mm]\delta[/mm] (v / [mm]\lambda)[/mm] = [mm]\alpha_{v}[/mm] * w | w = v / [mm]\lambda[/mm]
> einsetzen
> [mm]\delta[/mm] (w) = [mm]\alpha_{v}[/mm] * w
Laß es hiermit erstmal bewenden. Der Schluß
> [mm]\Rightarrow \delta[/mm] = [mm]\alpha[/mm] * id
ist voreilig, sofern wir es nicht mit einem VR der Dimension 1 zu tun haben.
> [mm]\box[/mm]
> damit wäre der fall für linear abhängig bewiesen hoffe ich
> in der Aufgabe steht allerdings, dass v und [mm]\delta(v)[/mm]
> linear abhängig sind muss ich diesen Fall dann überhaupt
> zeigen ?
Daß [mm] \delta(v) [/mm] und v linear abhängig sind, handelt vom Verhältnis zwischen Argument und Funktionswert.
Du hingegen hast gerade überlegt, wie aus [mm] \delta(v)=av [/mm] folgt, daß sämtliche Argumente, die Vielfache von v sind, unter der Abbildung mit diesem Faktor multipliziert werden.
Ob man es zeigen muß, ist natürlich eine berechtigte Frage, denn dies ergibt sich ja sofort aus der Linearität von [mm] \delta.
[/mm]
Aber ich denke, man sollte es in diesem Stadium des Studiums durchaus erwähnen.
Interessant wird es allerdings erst, wenn der betrachtete VR mehr als eine Dimension aufzuweisen hat.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:48 Do 11.12.2008 | | Autor: | rafael |
dann füge ich den teil für die lin. unabhängigkeit noch an, dachte nur weil es sehr trivial ist
aber vielen dank für die hilfe und schönen abend noch
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> dann füge ich den teil für die lin. unabhängigkeit noch an,
> dachte nur weil es sehr trivial ist
Hallo,
???
Generell: ich warne vor dem leichtfertigen Gebrauch des Wörtchens "trivial".
"Trivial" ist für die, die's können...
Wenn man nicht so den großen Übberblick hat, macht man durch den Gebrauch dieses Wörtchens leicht in einer Weise auf sich aufmerksam, die einem u.U. nicht so lieb ist - es reizt dazu, dem Gegenüber etwas auf den Zahn zu fühlen. das kann schmerzhaft sein, wie wohl jeder von uns weiß.
Du bezeichnest hier gerade den Teil der Aufgabe als trivial, welcher es nicht ist.
Der - wenn man das Wort verwenden möchte - triviale Teil ist der, den Du gezeigt hast.
Der andere Part steht aus, und muß unbedingt "angefügt" werden.
> aber
Warum "aber"?
> vielen dank für die hilfe und schönen abend noch
Gern geschehen und danke.
Gruß v. Angela
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> Hallo,
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> ich würde bei dieser Aufgabe nicht unbedingt mit Basen
> arbeiten wollen, weil nicht gesagt ist, dass es sich um
> endliche Vektorräume handelt.
Hallo,
es hat aber auch jeder VR nichtendlicher Dimension eine Basis - mit welcher man auch arbeiten darf.
Was man nicht tun darf ist, daß man sagt sei [mm] (b_1, [/mm] ..., [mm] b_n) [/mm] eine Basis. Das habe ich aber auch nicht getan - und ich habe mir etwas dabei gedacht, das nicht zu tun.
Trotzdem hast Du recht: mein Vorschlag ist zu umständlich und macht zuviel Gewese. (Sein Vorteil: er stupst auf die lineare Unabhängigkeit)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:37 Fr 12.12.2008 | | Autor: | rainman_do |
Hallo,
ich meinte nur, ich würde nicht gern mit Basen arbeiten wollen, dass man es generell kann steht ausser Frage. Ich habs allerdings tatsächlich ziemlich doof formuliert. Du hast natürlich völlig recht, durch deinen Vorschlag kommt man schnell auf die lin.unabhängkeit...
Lieben Gruß
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