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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:22 Sa 25.02.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Es sei [mm]V= \IR^{3 \times1}[/mm] , [mm]T_1 = < \vektor{1 \\ 1 \\ 1} >[/mm] und [mm]T_2 = < \vektor{1 \\ 0 \\ -1} , \vektor{1 \\ 2 \\ 3} >[/mm].
Geben sie eine lineare Abbildung [mm]\phi : V \to V[/mm] an, so dass Kern [mm]\phi = T_1[/mm] und Bild[mm]\phi = T_2[/mm] ist. |
Hallo alle zusammen,
also ich habe diese Aufgabe und habe mir dazu überlegt, dass die Form aller Kerne von [mm]\phi[/mm] wegen [mm]T_1 = < \vektor{1 \\ 1 \\ 1} >[/mm] , gerade so ausssehen müsste: [mm] \vektor{a \\ a \\ a} [/mm]. Die Form aller Bilder wäre dann ja, wegen [mm]T_2 = < \vektor{1 \\ 0 \\ -1} , \vektor{1 \\ 2 \\ 3} >[/mm], [mm] \vektor{2a \\ b \\ c-a} [/mm].
Dann habe ich mir gedacht, dass ja wegen der Difinition von Kern und von Bild, gelten muss:
[mm]\phi ( \vektor{a \\ b \\ c}) = \vektor{2a \\ b \\ c-a}[/mm] sowie
[mm][mm] \vektor{2a \\ b \\ c-a} [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow \vektor{a \\ a \\ a}[/mm] [mm]
Ich habe dann versucht mir zu überlegen, wie [mm]\phi[/mm] aussehen könnte, aber ich bekomme es nicht hin, beide Bedingengen (also dass Kern [mm]\phi = T_1[/mm] und Bild[mm]\phi = T_2[/mm] ist) 'reinzupacken'.
Ich hatte mir schon eine Abbildunge überlegt: [mm]\phi : X \mapsto X + AX[/mm] wobei [mm]A:= \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 }[/mm]
Dann habe bekomme ich nämlich das Bild[mm]\phi[/mm] so heraus, wie verlangt, aber dann stimmt nicht der Kern[mm]\phi[/mm].
Wo mache ich den Fehler bzw. hat jemand einen Tipp wie ich auf diese lineare Abbildung komme?
Danke im voraus und euch allen noch schöne Karnevalstage ;)
LG
Elbi
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Hallo,
also wenn ich die Notation jetzt richtig verstehe, dann ist gemeint, dass
[mm]T_1=\left\{x\vektor{1 \\ 1 \\ 1};x\in\mathbb{R}\right\}[/mm]
und so weiter.
Dann ist eine passende Abbildung [mm]\phi[/mm] möglich zu bestimmen, indem man sich anschaut, wie ein Element aus [mm]T_2[/mm] ausschaut. Die Abbildung muss auf die eine oder andere Art auf [mm]a\vektor{1 \\ 0 \\ -1}+b\vektor{1 \\ 2 \\ 3}[/mm] abbildet. Dazu eine Matrix aufzuschreiben ist recht einfach: Z.B.
[mm]\pmat{1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ -1 & 3 & 0}[/mm]
Wenn man jetzt einen Vektor [mm]\vektor{a \\ b \\ c}[/mm] verwendet, sieht man, dass es das gewünschte Ergebnis hat.
Das Problem ist jetzt nurnoch der Kern. Da damit Zurzeit der Kern nur aus [mm]0[/mm] besteht. Aber das ist nicht das Problem, da zu dem Bild auch jeder Vektor [mm]\vektor{x \\ x \\ x}[/mm] gehört. Eine einfache Korrektur der Form
[mm]\pmat{1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & 3 & -2}[/mm]
behebt das Problem.
Die Überprüfung, dass diese Matrix das gewünschte leistet sollte einfach sein. Nachzuprüfen ist natürlich, dass [mm]T_1[/mm] wirklich der Kern ist (d.h. alle [mm]x\in T_1[/mm] auf [mm]0[/mm] abgebildet werden und kein [mm]x\not\in T_1[/mm] existiert, dass auf [mm]0[/mm] abgebildet wird) und dass [mm]T_2[/mm] wirklich das Bild ist. Dies ist aber über einfache Rechnungen nachvollziehbar.
Über diese Matrix kann man sich leicht durch Permutation der Spalten und entsprechende Skalierung neue Abbildungen mit der gewünschten Eigenschaft erstellen.
--
Gruss Matthias
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Hallo und guten Morgen,
allgemein: Wir haben einen Vektorraum V der Dimension 3, zB den [mm] \IR^3. [/mm] Nehmen wir eine Basis [mm] e_1,e_2,e_3,
[/mm]
zB die Standardbasis des [mm] \IR^3.
[/mm]
Wir haben drei Vektoren [mm] u_1,u_2,u_3 [/mm] gegeben und wollen eine lineare Abb. [mm] f\colon V\to [/mm] V konstruieren,
so dass
kern(f)= [mm] Span(u_1)
[/mm]
[mm] bild(f)=Span(u_2,u_3) [/mm] gilt.
Falls - wie offenbar hier gegeben- [mm] u_2,u_3 [/mm] lin. unabh., so koennen wir doch im Falle [mm] u_1 \neq [/mm] 0
[mm] e_1 [/mm] durch [mm] u_1 [/mm] ersetzen und dann
[mm] f(u_1)=0
[/mm]
[mm] f(e_2)=u_2,f(e_3)=u_3 [/mm]
setzen.
Zzg, bleibt, dass nicht [mm] Span(u_1)\subsetneq [/mm] Kern(f) gilt.
Dies folgt aber direkt aus der Lin.Unabh. von [mm] u_2, u_3.
[/mm]
Gruss,
Mathias
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