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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Di 10.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Moin!
Ich hab mal eine Frage, wie folgende Aufgabe zu verstehen ist:
Im folgenden seien
e1:= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}, e2:=\vektor{0 \\ 1 \\ 0}, [/mm] e3:= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1},
[/mm]
v1:= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1}, [/mm] v2:= [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 1}, v3:=\vektor{3 \\ 4 \\ 0}
[/mm]
Es seien f,g: [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] lineare Abbildungen mit [mm] f(e_{i})=v_{i}
[/mm]
bzw. [mm] g(v_{i})=e_{i} [/mm] für i [mm] \in \{1,2,3 \}. [/mm] Geben Sie zwei Matrizen A,B an, sodass für alle x [mm] \in \IR^{3} [/mm] gilt: f(x)=Ax und g(x)=Bx. Und dann soll ich noch das Produkt beider berechnen.
Also das mit dem Produkt ist klar, nur brauche ich dazu erstmal die beiden Matrizen. Ich weiß nun nicht genau, was ich machen muss, um auf f(x)=Ax zu kommen. Kann mir jemand einen Ansatz geben oder das an einer der beiden möglichen Matrizen beispielhaft erklären, damit ich die andere alleine lösen kann?
liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 Di 10.01.2006 | | Autor: | Stefan |
Hallo Franzie!
In den Spalten von $A$ stehen ja die Bilder der kanonischen Basisvektoren bezüglich der kanonischen Basis. Nach Konstruktion sind dies aber genau die Vektoren [mm] $v_1$, $v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$. [/mm] Schreibe diese also als Spaltenvektoren in deine Matrix $A$.
Naja, und $B$ ist natürlich dann die Inverse von $A$...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Di 10.01.2006 | | Autor: | Franzie |
Also hab ich dann praktisch
[mm] A=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 0}
[/mm]
[mm] B=\pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}
[/mm]
und als Produkt beider
[mm] A*B=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 0} [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1}= \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 1 & 1 & 0}
[/mm]
also ist die Matrix A invers zu sich selbst, oder?
liebe Grüße
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Das inverse zu A ist:
[mm] \pmat{ -4 & 3 & -1 \\ 4 & -3 & 2 \\ -1 & 1 & -1 }
[/mm]
auch Kehrmatrix genannt. B ist eine Einheitsmatrix.
A * E = A
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