lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Di 06.12.2005 | | Autor: | Nilfi |
Hallo zusammen!
Folgende Aufgabe
Es seien die Vektoren
[mm] u_{1}:= [/mm] (2,-1) , [mm] u_{2}:= [/mm] (1,1), [mm] u_{3}:= [/mm] (-1,4) sowie [mm] v_{1} [/mm] := (1,3), [mm] v_{2} [/mm] := (2,3), [mm] v_{3} [/mm] := (-5,5) des [mm] R^{2} [/mm] gegeben.
Kann es dann eine lineare Abbildung F: [mm] R^{2}\to R^{2} [/mm] mit
F(u1) = v1, F(u2) = v2, F(u3)= v3 geben?
Beweisen Sie ihre antwort.
Ich habe mir überlegt, dass für F(u1) = v1 und F(u2) = v2 die ABbildung
[mm] \pmat{x1 \\ x2} \mapsto \pmat{x1 + x2 \\ 2*x1 +x2} [/mm] gilt.
Für F(u3) =v3 gilt diese Abbildung nicht. -> Es kann so eine Abbildung nicht existieren.
Reicht das schon an Überlegung, dass es eine Abbildung gibt, die auf 2 Aussagen zutrifft und auf die dritte nicht.
Und wie soll ich das genauer beweisen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Mi 07.12.2005 | | Autor: | SEcki |
> Für F(u3) =v3 gilt diese Abbildung nicht. -> Es kann so
> eine Abbildung nicht existieren.
Das ist richtig.
> Reicht das schon an Überlegung, dass es eine Abbildung
> gibt, die auf 2 Aussagen zutrifft und auf die dritte
> nicht.
Prinzipiell nicht - in voller Allgemeinheit nicht. Allerdings hast du hier ja eine lineare Abbildung, die durch eine Basis schon vollständig festgelegt ist. Das heisst: falls du die Abbildung auf dene rsten beiden Vektoren kennst, kennst du sie auf dem Span von diesen. also ist f schon dadurch eindeutig - und widerspricht, wohin [m]v_3[/m] gehen soll.
> Und wie soll ich das genauer beweisen
Etwas mit der Eindeutig auf einer Basis dazu sagen - dann war das alles.
SEcki
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