lineare Abb mit 3 gegeb. Fkt. < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:29 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Cashima |
| Aufgabe | | Gibt es eine lineare Abbildung f : [mm] \IR \to \IR^3 [/mm] mit [mm] f((1,1,1)^t)=(7,2,3)^t, f((1,2,0)^t)=(-1,1,2)^t [/mm] und [mm] f((1,0,2)^t)=(0,0,1)^t [/mm] ? |
Hi! Ich habe mir jetzt schon ganz lange den Kopf darüber zerbrochen, wie ich diese Aufgabe angehen kann...
Bedingung für eine lineare Abbildung ist ja:
f(x+y) = [mm] (x+y)^2 [/mm] und
f(x) + f(y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2
[/mm]
Aber was ist hierbei mein x und was mein y? Und f(y) kenne ich ja gar nicht!?
Ich habe schon u.a. versucht:
[mm] (1,1,1)^t [/mm] als X-Wert zu nehmen und [mm] (7,3,2)^t [/mm] als zugehörigen y-Wert. Hiermit könnte ich auch f(y) ausrechnen ( f(x) + f(y) = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ) wobei f(y) = [mm] (50,5,10)^t [/mm] rauskäme. Aber das scheint falsch zu sein, da hierbei f(x) + f(y) [mm] \not= x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] ist.
Das schien mir eigentlich die sinnvollste Überlegung- aber wie gesagt: Auch sie scheint falsch zu sein.
Vielleicht macht es ja Sinn, wenn ich vorerst übrprüfe, ob die Vektoren linear unabhängig sind?
Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand einen Lösungsansatz hätte..
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gibt es eine lineare Abbildung f : [mm]\IR \to \IR^3[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
das sollte heißen f : [mm]\IR^3 \to \IR^3[/mm]
> mit [mm]f((1,1,1)^t)=(7,2,3)^t, f((1,2,0)^t)=(-1,1,2)^t[/mm] und
> [mm]f((1,0,2)^t)=(0,0,1)^t[/mm] ?
> Hi! Ich habe mir jetzt schon ganz lange den Kopf darüber
> zerbrochen, wie ich diese Aufgabe angehen kann...
> Bedingung für eine lineare Abbildung ist ja:
>
> f(x+y) = [mm](x+y)^2[/mm]
> f(x) + f(y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
sorry, aber woher hast du denn diesen Unsinn ?
> Aber was ist hierbei mein x und was mein y? Und f(y) kenne
> ich ja gar nicht!?
>
> Ich habe schon u.a. versucht:
> [mm](1,1,1)^t[/mm] als X-Wert zu nehmen und [mm](7,3,2)^t[/mm] als
> zugehörigen y-Wert. Hiermit könnte ich auch f(y)
> ausrechnen ( f(x) + f(y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] ) wobei f(y) =
> [mm](50,5,10)^t[/mm] rauskäme. Aber das scheint falsch zu sein, da
> hierbei f(x) + f(y) [mm]\not= x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] ist.
>
> Das schien mir eigentlich die sinnvollste Überlegung- aber
> wie gesagt: Auch sie scheint falsch zu sein.
>
> Vielleicht macht es ja Sinn, wenn ich vorerst übrprüfe,
> ob die Vektoren linear unabhängig sind?
Ja. Das ist mal eine brauchbare Idee. Zeige zunächst,
dass die 3 Vektoren [mm] (1,1,1)^T [/mm] , [mm] (1,2,0)^T [/mm] und [mm] (1,0,2)^T
[/mm]
linear abhängig sind, indem du einen davon als Linear-
kombination der anderen beiden darstellst.
Und dann überlegst du dir mittels der richtigen
Eigenschaften ![[]](/images/popup.gif) linearer Abbildungen die Konsequenzen.
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Cashima |
Hi! Erst einmal vielen lieben Dank für die schnelle Antwort. Die Formeln hatte ich aus verschiedenen Mathebüchern..
Also ich habe die drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit getestet und herausbekommen:
r [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + s [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] + t [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
s=t
r= -2t
hmmm.. also da s=t aber [mm] \not= [/mm] r : die Vektoren sind linear abhängig.
Aber ich weiß leider trotzdem nicht, wie ich weiterrechnen soll und was mir dieser Nachweis gebracht hat..
Wenn ich die erste Bedingung anwende: f(ax) = af(x) könnte ich für a = -1 einsetzen.
Dann hätte ich Folgendes: f [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] = -1 [mm] f\vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
also f [mm] \vektor{-1 \\ -1 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{-7 \\ -2 \\ -3} [/mm] bzw. = -1 [mm] \vektor{7 \\ 2 \\ 3} [/mm]
Reicht das schon als Beweis dafür, dass diese bedingung erfüllt ist? Oder muss ich das anders angehen?
Wie kann ich fortfahren? Die zweite Bedingung wäre:
f (x+y) = f(x) + f(y)
Was ist hierbei x und was y? Ist y das "Ergebnis" von f [mm] \vektor{1\\1\\1} [/mm] ??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:21 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
erstmal ergänzend:
Sicher war bei Dir gemeint, dass $f: [mm] \IR^{\red{3}} \to \IR^3$ [/mm] ist.
> Hi! Erst einmal vielen lieben Dank für die schnelle
> Antwort. Die Formeln hatte ich aus verschiedenen
> Mathebüchern..
>
> Also ich habe die drei Vektoren auf lineare Unabhängigkeit
> getestet und herausbekommen:
>
> r [mm]\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm] + s [mm]\vektor{1 \\ 2 \\ 0}[/mm] + t [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 2}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> s=t
> r= -2t
> hmmm.. also da s=t aber [mm]\not=[/mm] r : die Vektoren sind linear
> abhängig.
das passt. Man kann sich hier auch die Determinante der 3 Vektoren angucken, um eine Aussage über lineare (Un-)abhängigkeit der 3 Vektoren zu treffen.
Fazit: Man kann [mm] $s=t\,,$ [/mm] $r=-2s$ wählen, und das Gleichungssystem ist erfüllt. Für die lineare Abhängigkeit einzusehen, setze etwa [mm] $s=t=1\,$ [/mm] und [mm] $r=-2\,.$
[/mm]
> Aber ich weiß leider trotzdem nicht, wie ich weiterrechnen
> soll und was mir dieser Nachweis gebracht hat..
>
> Wenn ich die erste Bedingung anwende: f(ax) = af(x) könnte
> ich für a = -1 einsetzen.
> Dann hätte ich Folgendes: f [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm] = -1
> [mm]f\vektor{1 \\ 1 \\ 1}[/mm]
>
> also f [mm]\vektor{-1 \\ -1 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{-7 \\ -2 \\ -3}[/mm]
> bzw. = -1 [mm]\vektor{7 \\ 2 \\ 3}[/mm]
>
> Reicht das schon als Beweis dafür, dass diese bedingung
> erfüllt ist? Oder muss ich das anders angehen?
>
> Wie kann ich fortfahren? Die zweite Bedingung wäre:
> f (x+y) = f(x) + f(y)
>
> Was ist hierbei x und was y?
Jeweils entsprechende Vektoren des betrachteten Vektorraums, hier [mm] $\IR^3\,.$
[/mm]
> Ist y das "Ergebnis" von f
> [mm]\vektor{1\\1\\1}[/mm] ??
Ich mach's mal so:
Du weißt mittlerweile, dass gilt:
[mm] $$-2*\vektor{1\\1\\1}+\vektor{1\\2\\0}=-1*\vektor{1\\0\\2}\,.$$
[/mm]
Jetzt könnte man sogar theoretisch weitermachen (lineare Abbildungen sind durch die Funktionswerte einer Basis des Urbildraums eindeutig definiert), oder wir machen es weniger theoretisch. Wenn es eine solche lineare Abbildung denn gibt, dann muss demzufolge doch gelten:
[mm] $$f(-2*\vektor{1\\1\\1}+\vektor{1\\2\\0})=f(-1*\vektor{1\\0\\2})\,.$$
[/mm]
Wegen der Linearität von [mm] $f\,$ [/mm] folgt, dass dann gelten muss:
[mm] $$-2*f(\vektor{1\\1\\1})+f(\vektor{1\\2\\0})=-1*f(\vektor{1\\0\\2})\,.$$
[/mm]
Das besagt nach den "geforderten Voraussetzungen an die Funktionswerte von [mm] $f\,$", [/mm] dass wir die Frage zu beantworten haben, ob die folgende Gleichung wahr ist:
[mm] $$-2\vektor{7\\2\\3}+\vektor{-1\\1\\2}=-\vektor{0\\0\\1}\,.$$
[/mm]
Da sie nicht wahr ist (Warum? Naja, wenn eine "Zeilengleichung" Unsinn ist, dann auch diese Gleichung!), kann es kein solches [mm] $f\,$ [/mm] geben.
Wäre allerdings in der Aufgabe [mm] $f((1,0,2)^t)$ [/mm] durch [mm] $f((1,0,2)^t)=-(-15,-3,-4)^t=(15,3,4)$ [/mm] ersetzt, dann wäre die Aufgabe lösbar. Man könnte dann quasi etwa [mm] $f((1,0,2)^t)$ [/mm] beliebig (im Sinne eines [mm] $\IR^3$-Vektors) [/mm] festsetzen, und hätte dann ein solches [mm] $f\,$ [/mm] konkret angegeben (es gäbe allerdings mehrere derartige lineare Funktionen).
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Cashima |
Spitze! Vielen lieben Dank!
Also sind die Rechenwege, die ich am Anfang hatte, gar nicht sooo verkehrt gewesen.. ich habe mich immer gewundert, wieso die Gleichungen nicht aufgegangen sind (ich hätte in der Tat nicht damit gerechnet, dass es KEIN f gibt, für das es möglich ist!)!
Das heißt aber nun, dass die Frage damit endgültig beantwortet ist (oder muss man noch etwas hinzufügen?)..
ABER: Wofür brauchte ich nun DREI Vektoren? Nur um die lineare Abhängigkeit zu zeigen? Und: Wenn ja: wieso müssen die Vektoren für diese Aufgabe linear abhängig sein?
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> ABER: Wofür brauchte ich nun DREI Vektoren?
Hallo,
Du hast drei Vektoren, weil halt die Fragestellung so ist...
Wenn man Dir lediglich zwei linear unabhängige Vektoren vorgesetzt hätte,
also etwa die Aufgabe
"Gibt es eine lineare Abbildung f : $ [mm] \IR \to \IR^3 [/mm] $ mit $ [mm] f((1,1,1)^t)=(7,2,3)^t, f((1,2,0)^t)=(-1,1,2)^t [/mm] $",
so wäre ja wenig zu tun gewesen.
> Nur um die
> lineare Abhängigkeit zu zeigen? Und: Wenn ja: wieso
> müssen die Vektoren für diese Aufgabe linear abhängig
> sein?
Damit die Studenten etwas zum Nachdenken haben.
Mit linear unabhängigen Vektoren würde es ja sowieso klappen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:19 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo Angela,
ich weiß, es ist ein "copy+paste"-Fehler, aber bitte
> > ABER: Wofür brauchte ich nun DREI Vektoren?
>
> Hallo,
>
> Du hast drei Vektoren, weil halt die Fragestellung so
> ist...
>
> Wenn man Dir lediglich zwei linear unabhängige Vektoren
> vorgesetzt hätte,
> also etwa die Aufgabe
> "Gibt es eine lineare Abbildung f : [mm]\red{\IR} \to \IR^3[/mm] mit
> [mm]f((1,1,1)^t)=(7,2,3)^t, f((1,2,0)^t)=(-1,1,2)^t [/mm]",
> so
> wäre ja wenig zu tun gewesen.
das [mm] $\red{\IR}$ [/mm] durch [mm] $\IR^3$ [/mm] ersetzen. Ansonsten ist die Aufgabe sogar in der Formulierung unsinnig. [mm] ($(1,1,1)^t \in \IR$ [/mm] etc. wäre mit neu ^^  )
Gruß,
Marcel
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> Hi! Erst einmal vielen lieben Dank für die schnelle
> Antwort. Die Formeln hatte ich aus verschiedenen
> Mathebüchern..
Falls das stimmt (aber ich zweifle sehr daran),
dann bring die Bücher zurück und verlange das dafür
bezahlte Geld und eine zusätzliche Entschädigung
für mutwillige Irreführung zurück !
LG
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mi 15.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> > Hi! Erst einmal vielen lieben Dank für die schnelle
> > Antwort. Die Formeln hatte ich aus verschiedenen
> > Mathebüchern..
>
>
> Falls das stimmt (aber ich zweifle sehr daran),
> dann bring die Bücher zurück und verlange das dafür
> bezahlte Geld und eine zusätzliche Entschädigung
> für mutwillige Irreführung zurück !
ob ich auch Schmerzensgeld bekomme? Beim Lesen der hier angeblich definierenden Eigenschaften der Linearität einer Funktion hatte ich ziemliches Bauch- und Kopfweh bekommen... :D
LG,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Gibt es eine lineare Abbildung f : [mm]\IR \to \IR^3[/mm] mit
> [mm]f((1,1,1)^t)=(7,2,3)^t, f((1,2,0)^t)=(-1,1,2)^t[/mm] und
> [mm]f((1,0,2)^t)=(0,0,1)^t[/mm] ?
> Hi! Ich habe mir jetzt schon ganz lange den Kopf darüber
> zerbrochen, wie ich diese Aufgabe angehen kann...
> Bedingung für eine lineare Abbildung ist ja:
>
> f(x+y) = [mm](x+y)^2[/mm] und
> f(x) + f(y) = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm]
das ist totaler Unsinn. Allgemein heißt eine Abbildung [mm] $f\,$ [/mm] zwischen den [mm] $\IK$-Vektorräumen ($\IK$ [/mm] sei dabei (irgend-)ein Körper, etwa [mm] $(\IR,+,\cdot)\,,$ [/mm] kurz [mm] $\IR$) $U\,$ [/mm] und [mm] $V\,,$ [/mm] also
$$f: U [mm] \to [/mm] V$$
dann (und nur dann) linear, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
1.) Für alle $x,y [mm] \in [/mm] U$ gilt [mm] $f(x+y)=f(x)+f(y)\,.$ [/mm] (Kurz: Der Funktionswert der Addition zweier (oder allg.: endlich vieler) Vektoren aus [mm] $U\,$ [/mm] kann man auch berechnen, indem man 'die einzelnen Funktionswerte der Summanden' (dieses sind Elemente von [mm] $V\,$) [/mm] addiert. Also:
Bei $f(x+y)$ steht eine Addition in [mm] $U\,$ [/mm] (es ist ja $x,y [mm] \in [/mm] U$), bei $f(x)+f(y)$ handelt es sich um eine Addition in [mm] $V\,$ [/mm] (es ist ja $f(x),f(y) [mm] \in [/mm] V$)).
2.) Für alle $x [mm] \in [/mm] U$ und [mm] $\lambda \in \IK$ [/mm] gilt: [mm] $f(\lambda [/mm] * [mm] x)=\lambda*f(x)\,.$
[/mm]
(Hier siehst Du auch, warum die beiden Vektorräume Vektorräume über demselben Körper sein sollen. Würde man verschiedene Körper zulassen, so müsste, wenn man den [mm] $\IK_2$-Vektorraum $V\,$ [/mm] und den [mm] $\IK_1$-VR $U\,$ [/mm] hat, sicher mindestens gefordert werden, dass [mm] $\IK_1$ [/mm] ein Teilkörper von [mm] $\IK_2$ [/mm] sein sollte.)
P.S.:
Die Bedingungen 1.) und 2.) kann man in äquivalenter Weise durch eine Bedingung ersetzen, die da heißt:
Für alle [mm] $\lambda, \mu \in \IK$ [/mm] und $x,y [mm] \in [/mm] V$ muss [mm] $f(\lambda*x+\mu*y)=\lambda*f(x)+\mu*f(y)$ [/mm] gelten.
Ihr behandelt sicher meist auch einfach [mm] $\IR$-Vektorräume [/mm] der Form [mm] $\IR^n\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Mo 13.06.2011 | | Autor: | Cashima |
Hi!
Vielen Dank! Die Definition habe ich wohl verstanden; aus deinen Erläuterungen habe ich jetzt geschlossen, dass ich für x und y in
f(x+y) = f(x) + f(y) also zwei verschiedene Vektoren einsetzen muss.
Bei den Vektoren v= [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] und x= [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] würde die Gleichung also wie folgt lauten:
f ( [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] ) = [mm] \vektor{7 \\ 2 \\ 3} [/mm] + [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 2} [/mm]
Aber woher weiß man hierbei, dass es richtig ist?! :
f ( [mm] \vektor{1 \\ 3 \\ 1} [/mm] ) = [mm] \vektor{6 \\ 3 \\5}
[/mm]
Ich finde die Beweisführung irgendwie verwirrend!
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> Hi!
>
> Vielen Dank! Die Definition habe ich wohl verstanden; aus
> deinen Erläuterungen habe ich jetzt geschlossen, dass ich
> für x und y in
> f(x+y) = f(x) + f(y) also zwei verschiedene Vektoren
> einsetzen muss.
> Bei den Vektoren v= [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] und x= [mm]\vektor{1 \\
2 \\
0}[/mm]
> würde die Gleichung also wie folgt lauten:
>
> f ( [mm]\vektor{1 \\
1 \\
1}[/mm] + [mm]\vektor{1 \\
2 \\
0}[/mm] ) =
> [mm]\vektor{7 \\
2 \\
3}[/mm] + [mm]\vektor{-1 \\
1 \\
2}[/mm]
>
> Aber woher weiß man hierbei, dass es richtig ist?! :
Hallo,
sofern f eine lineare Abbildung ist, muß es aufgrund der Eigenschaften linearer Abbildungen richtig sein.
Du sollst nun erst prüfen, ob f mit den Funktionswerten
> > > $ [mm] f((1,1,1)^t)=(7,2,3)^t, f((1,2,0)^t)=(-1,1,2)^t [/mm] $ und $ [mm] f((1,0,2)^t)=(0,0,1)^t [/mm] $
linear sein kann.
Erkannt hattest Du inzwischen, daß
[mm] -2*(1,1,1)^t+(1,2,0)^t=-1*(1,0,2)^t.
[/mm]
Wenn das so ist und f linear ist, dann muß natürlich gelten, daß
[mm] f(-2*(1,1,1)^t+(1,2,0)^t)=f(-1*(1,0,2)^t),
[/mm]
und aufgrund der Linearität hätte man
[mm] -2*f((1,1,1)^t)+f((1,2,0)^t)=-1*f((1,0,2)^t).
[/mm]
Wenn dies gilt, dann steht der Linearität nichts im Wege, wenn es nicht gilt, dann kann es keine solche lineare Funktion geben.
Gruß v. Angela
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