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| Aufgabe | f: [mm] \IR³ [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] erfülle folgende Bedingungen:
f(1,0,2)= (1,1,1,1) f(2,5,3)=(2,2,0,0) f(1,3,1)=(-1,0,1,1)
a) Begründen Sie, warum es eine lin. Abb. f: [mm] \IR³ [/mm] -> [mm] \IR^4 [/mm] mit diesen Eigenschaften gitb.
b) Ist f durch diese Eigenschaften eindeutig bestimmt? Begründen Sie ihre Aussage.
c) Bestimmen Sie f(0,1,0) mit Angabe des Rechenweges. |
Hilfe... ich bin überfordert. Kann mir jemand helfen? Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 Do 14.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
eine lin. Abbildung ist eindeutig gegeben, wenn sie auf einer Basis gegeben ist.(denn dann kann man die Bilder aller anderen Vektoren wegen der linearität auch finden.
Du musst also nur rausfinden ob die 3 Vektoren, von denen du Bilder kennst, eine Basis bilden, d.h. ob die 3 lin unabh. sind.
wenn du (010) durch diese Basis darstellst ist das Bild dann die entsprechende Linearkomb. der Bilder.
Gruss leduart
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Hallo,ich arbeite auch gerade an dieser Aufgabe.
> eine lin. Abbildung ist eindeutig gegeben, wenn sie auf
> einer Basis gegeben ist.(denn dann kann man die Bilder
> aller anderen Vektoren wegen der linearität auch finden.
> Du musst also nur rausfinden ob die 3 Vektoren, von denen
> du Bilder kennst, eine Basis bilden, d.h. ob die 3 lin
> unabh. sind.
Mach ich das, indem ich die 3 Vektoren in eine Matrix schreibe und dann auf Zeilenstufenform bringe? Danke für eure Hilfe
> wenn du (010) durch diese Basis darstellst ist das Bild
> dann die entsprechende Linearkomb. der Bilder.
Muss ich 010 als Ergebnis in die Matrix schreiben und dann wie oben weiterrechnen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Sa 16.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du mit in eine Matrix schreiben meinst das lineare Gleichungsysten r1*v1+r2*v2+r3*v2=0 -vi die Vektoren-
lösen und zeigen, dass es nur die Lösung r1=r2=r3=0 hat ja.
Danach musst du das LGS mit rechter Seite 0,1,0 lösen.
Was du mit 010 in die Matrix schreiben meinst weiss ich nicht.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Sa 16.06.2007 | | Autor: | Millili |
Hallo Leduart!
Ich hätte eine Frage zu der Aufgabe. Wenn ich in der a) gezeigt habe, dass die drei Vektoren (1, 0, 2) , (2, 5, 3) und (1, 3, 1) linear unabhängig sind und somit eine Basis bilden ( Erzeugendensystem sind sie ja ebenfalls). Kann ich in der b) einfach schreiben, dass f durch diese Eigenschaft eindeutig bestimmt ist auf Grund des Eindeutigkeitssatzes? Das käme mir etwas spanisch vor, weil dann hätt ich die b ja quasi in der a schon beantwortet...
LG, Millili
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 So 17.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo Milli
Ich weiss grad nicht, wie ihr den eindeutigkeitsatz formuliert habt, aber wegen der Linearität der Abb. kennst du ja die Bilder aller Linearkombinationen dieser drei "Basis"vektoren, und deshalb, da sie ne Basis bilden die Bilder aller Vektoren.
es ist also wirklich ne einfachste folgerung aus a)
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:10 So 17.06.2007 | | Autor: | D-C |
Ich bin mir nicht sicher, ob ich das soweit richtig gemacht habe !? :
Ich habe die Matrix [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 5 & 3 \\ 2 & 3 & 1} [/mm] mittles Umformungen auf [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1} [/mm] gebracht,
womit die Vektoren ja lin. unabhängig sind und damit eine Basis bilden.
Wenn ich für die c) (0,1,0) auf der rechten Seite mit Umforme, bekomme ich da
(-1/2,1/2,-1/2) raus.
Gruß
D-C
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 So 17.06.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
richtig, d.h. (0,1,0)=-1/2v1+1/2v2-1/2v3
dann ist f(0,1,0)=-1/2f(v1)+1/2f(v2)-1/2f(v3)
das genau sagt doch die liearität der Abbildung.
Gruss leduart
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