linear unabhängig < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:59 Di 15.08.2006 | | Autor: | Elbi |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und [mm]\phi \in End_K(V)[/mm]. Weiter seien [mm]n \ge 0[/mm] und [mm]W \in V[/mm] mit
[mm]\phi^n(W) \not= 0[/mm] und [mm]\phi^{n+1}(W) = 0[/mm].
Zeigen Sie dass [mm](W,\phi(W),...,\phi^n(W))[/mm] linear unabhängig ist. |
Hallo hallo,
also ich habe mir folgendes dazu überlegt:
Sei [mm]X:=(W,\phi(W),...,\phi^n(W))[/mm]
z. Z. X ist linear unabhängig, also l.u. System in V (d.h. [mm][mm] \forall [/mm] U [mm] \in [/mm] V ist [mm](W,\phi(W),...,\phi^n(W),U)[/mm] l.a.) mit [mm]U:=\phi^{n+1}(W)[/mm]
Ang. [mm]\exists U \in V, (W,\phi(W),...,\phi^n(W),U)[/mm] l.u.
[mm][mm] V=[/mm] [mm] d.h. [mm]\exists a_1,...,a_n \in K[/mm] mit [mm]U=a_1W+a_2 \phi(W)+...+a_n \phi^n(W)[/mm] d.h.
[/mm] mit [mm]a_1W+a_2 \phi(W)+...+a_n \phi^n(W)-1*U=0[/mm]
Widerspruch zu [mm](W,\phi(W),...,\phi^n(W),U)[/mm] l.u.
Könntet ihr vielleicht mal drüber schauen und sagen, ob das so okay ist oder wo ich einen Fehler gemacht habe. Wäre echt nett
LG
Elbi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:22 Di 15.08.2006 | | Autor: | statler |
Hallo Christa!
> Es sei K ein Körper, V ein K-Vektorraum und [mm]\phi \in End_K(V)[/mm].
> Weiter seien [mm]n \ge 0[/mm] und [mm]W \in V[/mm] mit
> [mm]\phi^n(W) \not= 0[/mm] und [mm]\phi^{n+1}(W) = 0[/mm].
> Zeigen Sie dass
> [mm](W,\phi(W),...,\phi^n(W))[/mm] linear unabhängig ist.
> also ich habe mir folgendes dazu überlegt:
>
> Sei [mm]X:=(W,\phi(W),...,\phi^n(W))[/mm]
> z. Z. X ist linear unabhängig, also l.u. System in V (d.h.
> [mm][mm]\forall[/mm] U [mm]\in[/mm] V ist [mm](W,\phi(W),...,\phi^n(W),U)[/mm] l.a.) mit [mm]U:=\phi^{n+1}(W)[/mm]
Das verstehe ich nicht, dieses U ist doch 0, und ein System, das den Nullvektor enthält, ist immer lin. abh., egal, wie der Rest aussieht.
> Ang. [mm]\exists U \in V, (W,\phi(W),...,\phi^n(W),U)[/mm] l.u.
[mm][mm]V=[/mm] [mm]d.h. [mm]\exists a_1,...,a_n \in K[/mm] mit [mm]U=a_1W+a_2 \phi(W)+...+a_n \phi^n(W)[/mm] d.h.
> [/mm] mit [mm]a_1W+a_2 \phi(W)+...+a_n \phi^n(W)-1*U=0[/mm][/mm][/mm]
> [mm][mm] Widerspruch zu [mm](W,\phi(W),...,\phi^n(W),U)[/mm] l.u.[/mm][/mm]
(Dein Quelltext ist ja wüst!)
Sei [mm] \lambda_{0}*W [/mm] + [mm] \lambda_{1}*\phi(W) [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n}*\phi^{n}(W) [/mm] = 0
Dann wende ich [mm] \phi^{n} [/mm] auf die Gleichung an und erhalte [mm] \lambda_{0}*\phi^{n}(W) [/mm] = 0
wg. [mm] \phi^{n}(W) \not= [/mm] 0 also [mm] \lambda_{0} [/mm] = 0
Jetzt hast du den 1. Koeffizienten erlegt und kannst dich an die Bearbeitung der anderen machen (auf ähnliche Weise).
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
|
