line Abbildungen und UV beweis < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:08 Mo 08.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | | Seien V und W Vektorräume, L : V → W eine lineare Abbildung und U ⊆ V und Z ⊆ W Untervektorräume. Dann gilt L(U) ⊆ W und [mm] L^{-1}(Z) [/mm] ⊆ V sind Unterverktorräume. |
Kann mir jemand erklären was [mm] L^{-1}(Z) [/mm] ist ? Danke im voraus
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:35 Mo 08.06.2015 | | Autor: | DieAcht |
Hallo rsprsp!
> Kann mir jemand erklären was [mm]L^{-1}(Z)[/mm] ist ?
Wir haben [mm] $L\colon V\to [/mm] W$ und [mm] $Z\subseteq [/mm] W$. Mit [mm] L^{-1}(Z) [/mm] ist das Urbild von [mm] $Z\$ [/mm] unter [mm] $L\$ [/mm] gemeint:
[mm] $L^{-1}(Z):=\{v\in V\mid L(v)\in Z\}$.
[/mm]
Gruß
DieAcht
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:33 Di 09.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Sind x,y aus L(U), dann gibt es a,b aus U mit L(a)=x und L(b)=y
dann ist wegen Linearität von L
L(a+b) = L(a) + L(b) = x + y,
weil U ein Unterraum ist, ist a+b aus U und damit ist
L(a+b) aus L(U) also x+y aus L(U).
UND
Ist x aus L(U), dann gibt es a aus U mit L(a)=x
[mm] \lambda [/mm] L(a) = [mm] L(\lambda [/mm] a) = [mm] \lambda [/mm] x
weil U ein Unterraum ist, ist [mm] \lambda [/mm] a aus U und damit ist [mm] L(\lambda [/mm] a) aus L(U) also [mm] \lambda [/mm] x aus L(U)
Ist der Beweis zum L(U) [mm] \subseteq [/mm] W richtig ?
Wie kann ich jetzt [mm] L^{-1}(Z) \subseteq [/mm] V beweisen ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:42 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Sind x,y aus L(U), dann gibt es a,b aus U mit L(a)=x und
> L(b)=y
> dann ist wegen Linearität von L
>
> L(a+b) = L(a) + L(b) = x + y,
>
> weil U ein Unterraum ist, ist a+b aus U und damit ist
> L(a+b) aus L(U) also x+y aus L(U).
>
> UND
>
> Ist x aus L(U), dann gibt es a aus U mit L(a)=x
>
> [mm]\lambda[/mm] L(a) = [mm]L(\lambda[/mm] a) = [mm]\lambda[/mm] x
>
> weil U ein Unterraum ist, ist [mm]\lambda[/mm] a aus U und damit ist
> [mm]L(\lambda[/mm] a) aus L(U) also [mm]\lambda[/mm] x aus L(U)
>
>
> Ist der Beweis zum L(U) [mm]\subseteq[/mm] W richtig ?
Ja
> Wie kann ich jetzt [mm]L^{-1}(Z) \subseteq[/mm] V beweisen ?
Da gibts doch gar nix zu zeigen !!! Es ist doch
$ [mm] L^{-1}(Z)=\{v\in V\mid L(v)\in Z\} [/mm] $.
In [mm] L^{-1}(Z) [/mm] sind doch nur Elemente aus V .
FRED
|
|
|
|
