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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:42 Di 14.06.2011 | | Autor: | diddy449 |
| Aufgabe | Seien [mm] \lambda_k\in\IC [/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte zu den Eigenvektoren [mm] c_k\in\IC^n [/mm] für alle $k=1,..,m$.
Zeigen Sie [mm] Re(c_k) [/mm] und [mm] Im(c_l) [/mm] sind für alle $k,l=1,...,m$ linear unabhängig. |
Hey,
die Aufgabe hab ich mir aus einer anderen Aufgabe heraus selbst überlegt.
Meine Idee:
Weil die [mm] \lambda_k [/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte sind, müssen die zugehörigen Eigenvektoren [mm] c_k [/mm] linear unabhängig sein (für alle $k=1,...,m$).
Mein Problem:
Wie zeige ich nun, dass die Real- [mm] Re(c_k)\in\IC^n [/mm] und Imaginärteile [mm] Im(c_l)\in\IC^n [/mm] linear unabhängig sind (für alle $l,k=1,...m$).
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> Seien [mm]\lambda_k\in\IC[/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte zu
> den Eigenvektoren [mm]c_k\in\IC^n[/mm] für alle [mm]k=1,..,m[/mm].
>
> Zeigen Sie [mm]Re(c_k)[/mm] und [mm]Im(c_l)[/mm] sind für alle [mm]k,l=1,...,m[/mm]
> linear unabhängig.
> Hey,
> die Aufgabe hab ich mir aus einer anderen Aufgabe heraus
> selbst überlegt.
>
> Meine Idee:
> Weil die [mm]\lambda_k[/mm] paarweise verschiedene Eigenwerte sind,
> müssen die zugehörigen Eigenvektoren [mm]c_k[/mm] linear
> unabhängig sein (für alle [mm]k=1,...,m[/mm]).
Hallo,
ja.
Im Grunde spielt es doch überhaupt keine Rolle, ob die Vektoren, die Du hast, Eigenvektoren irgendeiner Matrix sind.
Du hast halt m linear unabhängige Vektoren des [mm] \IC^n, [/mm] über die Du eine Aussage zeigen willst.
>
> Mein Problem:
> Wie zeige ich nun, dass die Real- [mm]Re(c_k)\in\IC^n[/mm] und
> Imaginärteile [mm]Im(c_l)\in\IC^n[/mm] linear unabhängig sind
> (für alle [mm]l,k=1,...m[/mm]).
Ich fürchte, daß Du das nicht zeigen kannst - es sei denn, ich mißverstehe Dein Anliegen.
Nehmen wir mal die beiden Vektoren [mm] c_1:=\vektor{1\\1}, c_2:=\vektor{1\\1+i}.
[/mm]
Du wirst die Unabhängigkeit ihrer Realteile schlecht zeigen können, oder?
Gruß v. Angela
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