lin gleichungssystem < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:37 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] |
Könnte man das Gleichungssystem nun einfach wie folgt aufstellen?
I 1 + x + y = 0
II 2 + x - y = 0
III -1 + x + y = 0
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mi 18.03.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
du bist im [mm] R^3 [/mm] also suchst du doch ein GS das Vektoren Vektoren [mm] \vektor{x \\ y \\ z}\in [/mm] L herstellt.
das tut dein GS sicher nicht.
Dass es das nicht tut koenntest du doch eigentlich direkt sehen, setz nur mal den einfachsten Vektor [mm] \vektor{1 \\ 2\\ -1} [/mm] der in L liegt ein!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:18 Mi 18.03.2009 | | Autor: | Thomas87 |
Wie stelle ich dann das Gleichungssystem auf?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:03 Do 19.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Thomas,
> Wie stelle ich dann das Gleichungssystem auf?
Du weißt doch sicher, dass ein (i.a. inhomogenes) lineares Gleichungssystem der Art $A*x=b$ die Lösungsmenge [mm] $\tilde{x}+kern(A)=\{\tilde{x}+x:\; x \in kern(A)\}$ [/mm] hat, wobei [mm] $\tilde{x}$ [/mm] irgendeine Lösung der Gleichung $A*x=b$ ist, also [mm] $A*\tilde{x}=b$ [/mm] gilt.
Bei Dir ist z.B. die Wahl [mm] $\tilde{x}=(1,2,-1)^t \in \IR^3$ [/mm] möglich [mm] ($t\,$ [/mm] steht für transponiert) und Du weißt, dass [mm] $kern(A)=\text{linspan}((1,1,1)^t,\;(1,-1,1)^t)\,,$ [/mm] somit weißt Du insbesondere, dass [mm] $A\,$ [/mm] genau drei Spalten haben wird. Es ist aber unklar, wieviele Zeilen [mm] $A\,$ [/mm] haben soll. Es gibt also sicher sehr viele solcher Matrizen, die die gewünschte Lösungsmenge haben. Wobei es auch, wenn man die Zeilenzahl festhält, dann auch sehr viele Matrizen gibt, die das gewünschte leisten (wenn Du eine solche gefunden hast, so multipliziere nur eine Spalte oder eine Zeile mit irgendeinem Skalaren, und die so entstandene neue Matrix leistet auch das gewünschte).
Wir wissen nur, dass [mm] $A\,$ [/mm] mindestens eine Zeile haben sollte. Suche nun also für festes $n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Matrix $A [mm] \in \IR^{n \times 3}$ [/mm] mit [mm] $kern(A)=\text{linspan}((1,1,1)^t,\;(1,-1,1)^t)$ [/mm] und berechne [mm] $b:=A*(1,2,-1)^t$, [/mm] und schon kannst Du solch ein Gleichungssystem hinschreiben. Der Einfachheit halber kannst Du dies schon für $n=1$ tun, so dass das Gleichungssystem nur aus einer Gleichung besteht.
Und wenn Du nun ein größeres $n [mm] \in \IN \setminus \{1\}$ [/mm] wählst, so werden wegen dem Dimensionssatz dann je zwei Spalten der Matrix [mm] $A\,$ [/mm] dann linear abhängig sein und wegen [mm] $Rang(A)=Rang(A^t)$ [/mm] dann auch je zwei Zeilen der Matrix [mm] $A\,$, [/mm] so dass sich auch dann das Gleichungssystem auf eine einzelne Zeile 'reduzieren' läßt. Man kann dann quasi sagen, dass dabei sehr viele Gleichungen 'redundant' sind.
(Eine [mm] $i\,$-te [/mm] Gleichung des durch [mm] $Ax\,=\,b$ [/mm] beschriebenen Gleichungssystems heißt redundant, wenn sich die Lösungsmenge des durch die Gleichung $A*x=b$ beschriebenen Gleichungssystems durch weglassen der [mm] $i\,$-ten [/mm] Gleichung nicht ändert.
D.h. die [mm] $i\,$-te [/mm] Gleichung ist genau dann redundant, wenn gilt:
Entsteht $A'$ durch entfernen der [mm] $i\,$-ten [/mm] Zeile aus [mm] $A\,$ [/mm] und $b'$ durch entfernen der [mm] $i\,-$ten [/mm] Komponente von [mm] $b\,,$ [/mm] so haben [mm] $Ax\,=\,b$ [/mm] und $A'x=b'$ die gleiche Lösungsmenge. (Beachte dabei, dass [mm] $A'x\,$ [/mm] dabei immer noch definiert ist, weil [mm] $A'\,$ [/mm] ja genau so viele Spalten wie [mm] $A\,$ [/mm] hat, was der Anzahl der Komponenten des Spaltenvektors [mm] $x\,$ [/mm] entspricht.))
P.S.:
Probiere mal $A=(1,0,-1)$ und berechne [mm] $b:=(1,0,-1)*\vektor{1\\2\\-1}\,.$ [/mm] Wie lautet nun das 'Gleichungssystem'?
(Wichtig ist dabei, dass Du Dir klar machst, wieso ich [mm] $A\,$ [/mm] so gewählt habe. Dazu habe ich (aus den oben erwähnten Gründen) $A [mm] \in \IR^{1 \times 3}\,,$ [/mm] also [mm] $A=(a_1,\,a_2,\,a_3)$ [/mm] angenommen und notwendigerweise soll ja [mm] $A*(1,1,1)^t=0$ [/mm] und [mm] $A*(1,-1,1)^t=0$ [/mm] gelten (die [mm] $0\,$ [/mm] rechterhand ist jeweils [mm] $\in \IR\,,$ [/mm] da [mm] $A\,$ [/mm] eine lineare Abbildung [mm] $\IR^3 \to \IR$ [/mm] ist), was eine notwendige Bedingung für [mm] $a_2$ [/mm] liefert und [mm] $a_1$ [/mm] in Bezug zu [mm] $a_3$ [/mm] stellt. Ferner ist [mm] $Rang(A)\,=1$ [/mm] zu beachten, so dass ein Wert für [mm] $a_1$ [/mm] (und damit hier auch für [mm] $a_3$) [/mm] nicht in Frage kommt.)
P.P.S.:
Analog könntest Du die Aufgabe (im Gegensatz zu dem eben mehr algebraischen nun ein wenig mehr geometrischen Wege) auch so angehen:
[mm] $\mathcal{L}$ [/mm] beschreibt eine Ebene im [mm] $\IR^3$ [/mm] in ihrer ![[]](/images/popup.gif) Parameterdarstellung:
[mm] $$\mathcal{L}=\left\{x=\vektor{x_1\\x_2\\x_3}:\;\;\;x=\vektor{1\\2\\-1}+s*\vektor{1\\1\\1}+t*\vektor{1\\-1\\1}\;\;\;s,t \in \IR\right\}\,.$$
[/mm]
Nun sollst Du diese Parameterform in Koordinatenform umwandeln, was so geht, dass Du aus dem oben entstehenden Gleichungssystem
[mm] $$x_1=1+s+t$$
[/mm]
[mm] $$x_2=2+s-t$$
[/mm]
[mm] $$x_3=-1+s+t$$
[/mm]
die Variablen [mm] $s\,$ [/mm] und [mm] $t\,$ [/mm] eliminierst, z.B. mit dem Gaußverfahren, allerdings hier bzgl. [mm] $s\,$ [/mm] und [mm] $t\,$ [/mm] angewendet. (Anwendung z.B. auf die ersten beiden Gleichungen, die so errechneten [mm] $s\,$ [/mm] und [mm] $t\,$ [/mm] werden dann in die dritte Gleichung eingesetzt.)
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
