lin. abhängig? < Lineare Gleich.-sys. < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:16 So 30.03.2008 | | Autor: | idler |
| Aufgabe | 1. Überprüfen Sie ob folgende Vektoren lin. abhängig sind:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1}, \vektor{7 \\ 6 \\ 1}, \vektor{10 \\ 6 \\ 0}.
[/mm]
2. Bestimmen sie a so, dass die Vektoren lin abhängig sind:
[mm] \vektor{1 \\ a \\ a^{2}}, \vektor{2 \\ 8 \\ 18}, \vektor{1 \\ 1 \\ 1}. [/mm] |
hallo ;D ,
1. habe ich so gelöst => da ich überprüfen soll, ob die 3 Vekroren lin. abhängig sind, müssen sie sich ja gegenseitig aus Vektorzügen darstellen lassen oder nicht?
also:
[mm] \vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] = [mm] \vektor{7 \\ 6 \\ 1} [/mm] + [mm] \lambda\*\vektor{10 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
daraus ergeben sich ja 3 Gleichungen:
1. [mm] 3=7+\lambda\*10
[/mm]
2. [mm] 0=6+\lambda\*6
[/mm]
3. [mm] -1=1+\lambda\*0
[/mm]
wenn sie lin. abhängig sein sollen darf es im prinzip ja nur 1 lösung für [mm] \lambda [/mm] geben ?
und da:
1. [mm] \lambda=-\bruch{4}{10}
[/mm]
2. [mm] \lambda=-1
[/mm]
3. [mm] \lambda= [/mm] keine Lösungsmenge
sind die 3 Vektoren lin. unabhängig, richtig?
2. wie bei der 1. Aufgabe muss wahrscheinlich [mm] \lambda [/mm] bei allen 3 Gleichungen gleich bleiben.
ich habe bei der 1. Gleichung nur 1 Unbekannte also kann ich [mm] \lambda [/mm] bestimmen => [mm] 1=2+\lambda\*1 [/mm] => [mm] \lambda=-1 [/mm] richtig?
nun gehe ich zur 2. Gleichung => a=8-1 => a=7
nun die 3. [mm] a^{2}^=18-1 [/mm] => [mm] a^{2}=17 [/mm] => [mm] a=\wurzel{17} [/mm]
das kommt mir alles jedoch etwas seltsam vor, da ich ja wohl nicht 2 verschiedene a erhalten kann .
wo liegt mein fehler begraben ?
ich danke euch schon mal.
euer idler
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> 1. habe ich so gelöst => da ich überprüfen soll, ob die 3
> Vekroren lin. abhängig sind, müssen sie sich ja gegenseitig
> aus Vektorzügen darstellen lassen oder nicht?
Das müsste durchaus der Fall sein.
> also:
> [mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ 6 \\ 1}[/mm] +
> [mm]\lambda\*\vektor{10 \\ 6 \\ 0}[/mm]
> daraus ergeben sich ja 3
> Gleichungen:
> 1. [mm]3=7+\lambda\*10[/mm]
> 2. [mm]0=6+\lambda\*6[/mm]
> 3. [mm]-1=1+\lambda\*0[/mm]
>
> wenn sie lin. abhängig sein sollen darf es im prinzip ja
> nur 1 lösung für [mm]\lambda[/mm] geben ?
Wenn die Vektoren wirklich linear abhängig sein sollten, so kann es meiner Meinung nach beliebig viele Lösungen für [mm] \lambda [/mm] geben. (Die Gleichung wäre ja immer erfüllt). Allerdings sollte jede Gleichung des LGS jede Lösung für Lambda unterstützen.
> und da:
> 1. [mm]\lambda=-\bruch{4}{10}[/mm]
> 2. [mm]\lambda=-1[/mm]
> 3. [mm]\lambda=[/mm] keine Lösungsmenge
>
> sind die 3 Vektoren lin. unabhängig, richtig?
Diese Begründung entzieht sich meinem Verständnis. Die Vektoren sind zwar linear abhängig, aber das hat nichts mit diesen Lösungen zu tun, denn die würden höchstens nachweisen dass es kein passendes [mm] \lambda [/mm] gibt.
Mit deiner obigen Gleichung suchst du doch ein [mm] \lambda, [/mm] dass dann für alle drei Gleichungen passt; ansonsten würde ja nicht gelten:
[mm]\vektor{3 \\ 0 \\ -1}[/mm] = [mm]\vektor{7 \\ 6 \\ 1}[/mm] + [mm]\lambda\*\vektor{10 \\ 6 \\ 0}[/mm]
Wenn die Lambdas, die du herausbekommst allerdings verschieden sind, so
Wir lösen erstmal die erste korrekt, danach die zweite extra. Also:
Deine Behauptung ist richtig; wenn die Vektoren linear abhängig sein sollen, so müsste es eine Linearkombination der ersten beiden Vektoren geben, sodass der dritte rauskommt; es müsste also [mm] \lambda_{1}, \lambda_{2} [/mm] geben sodass:
[mm] \lambda_{1}*\vektor{3 \\ 0 \\ -1} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{7 \\ 6 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{10 \\ 6 \\ 0}
[/mm]
Wir beschränken das also nicht auf ein Lambda! So, nun entsteht ein LGS:
[mm] \vmat{ 3*\lambda_{1} + 7*\lambda_{2} & = & 10 \\ 0*\lambda_{1} + 6*\lambda_{2} & = & 6 \\ (-1)*\lambda_{1} + 1*\lambda_{2} & = & 0 }
[/mm]
Man erhält:
[mm] \vmat{ 3*\lambda_{1} + 7*\lambda_{2} & = & 10 \\ \lambda_{2} & = & 1 \\ (-1)*\lambda_{1} + 1*\lambda_{2} & = & 0 }
[/mm]
Und weiter:
[mm] \vmat{ 3*\lambda_{1} & = & 3 \\ \lambda_{2} & = & 1 \\ (-1)*\lambda_{1} & = & -1 }
[/mm]
Somit ist
[mm] \vmat{ \lambda_{1} & = & 1 \\ \lambda_{2} & = & 1 \\ \lambda_{1} & = & 1 }
[/mm]
Da insbesondere die beiden [mm] \lambda_{1} [/mm] übereinstimmen, haben wir eine mögliche Linearkombination von den ersten beiden Vektoren gefunden, den dritten darzustellen [mm] \to [/mm] Die Vektoren sind linear abhängig.
Ebenso musst du es mit der zweiten probieren. Ich rate allerdings zu folgender Definition insbesondere der linearen Unabhängigkeit:
Drei Vektoren [mm] \vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \vec{v_{3}} [/mm] sind linear unabhängig, wenn gilt: Die Gleichung
[mm] \lambda_{1}*\vec{v_{1}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vec{v_{2}} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vec{v_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0\\0\\0}
[/mm]
hat nur die triviale Lösung [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0.
Im Gegensatz dazu also: Die Vektoren sind nicht linear unabhängig (linear abhängig also), wenn es noch eine andere Lösung gibt.
Ich würde dir raten dieses entstehende LGS zu lösen. Damit greifst du dann nämlich auch gleich alle möglichen Lösungen ab. Wichtig ist, dass das a stets erhalten bleibt: Am Ende ist vielleicht eine Fallunterscheidung von Nöten.
(Also z.B. der Form: Falls a = 1 sind die Vektoren linear unabhängig, ansonsten linear abhängig)
Also: Probiere 2.! 
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 So 30.03.2008 | | Autor: | idler |
danke schonmal ;D
also 2. :
r* [mm] \vektor{1 \\ a \\ a^{2}}+t* \vektor{2 \\ 8 \\18} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vmat{ r+2t=1 \\ a*r+8t=1 \\ a^{2}*r+18t=1 }
[/mm]
nun stehe ich irgendiwe auf dem schlauch wie ich das löse müsste ja eigtl einfach sein , da es 3 gleichungen mit 3 unbekanntetn sind, aber irgendwie komme ich nicht drauf klar die zu lösen und im taschenrechner (equa menu) kann ich ja 1. nicht a*r eingeben und 2. [mm] a^{2} [/mm] ebenfalls nicht eingeben.
ich habe zwar durch logik raus, dass a=1, r=0 und t=1 sein muss, aber es wäre sehr nett wenn einer nochmal die rechnung zeigen könnte oder meinen schlauch entknotet^^
danke ;D
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Also wenn ich deine Unbekannten einsetze, stimmt das schon bei der ersten Gleichung nicht...
Ich würde es nochmal mit der Methode der drei Unbekannten zeigen:
Damit die Vektoren linear unabhängig sind, müsste gelten:
[mm] \lambda_{1}*\vektor{1 \\ a\\a^{2}} [/mm] + [mm] \lambda_{2}*\vektor{2 \\ 8 \\ 18} [/mm] + [mm] \lambda_{3}*\vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0\\0}
[/mm]
har nur die triviale Lösung [mm] \lambda_{1} [/mm] = [mm] \lambda_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{3} [/mm] = 0.
Es entsteht das LGS
[mm] \vmat{ &\lambda_{1}& + &2*\lambda_{2}& + &\lambda_{3} & = & 0 \\ &a*\lambda_{1}& + &8*\lambda_{2}& + &\lambda_{3} & = & 0 \\ &a^{2}*\lambda_{1}& + &18*\lambda_{2}& + &\lambda_{3}&=& 0 }
[/mm]
Diese Gleichungssystem löse ich in Matrix-Schreibweise:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ a & 8 & 1 & | & 0 \\ a^{2} & 18 & 1 & | & 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ a - 3 & 2 & -2 & | & 0 \\ a^{2} - 9 & 0 & -8 &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ a - 3 & 2 & -2 & | & 0 \\ (a-3)*(a+3) & 0 & -8 &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ a - 3 & 2 & -2 & | & 0 \\ 0 & -2*(a+3) & -8 +2*(a+3) &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ 0 & 2 - 2*(a-3) & -2-(a-3) & | & 0 \\ 0 & -2*(a+3) & -8 +2*(a+3) &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ 0 & -2*a + 8 & -a+1 & | & 0 \\ 0 & -2*a-6 & 2*a - 2 &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ 0 & -2*a + 8 & -a+1 & | & 0 \\ 0 & -14 & 3*a - 3 &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ 0 & -2*a & \bruch{5}{7}*a-\bruch{5}{7} & | & 0 \\ 0 & -14 & 3*a - 3 &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ 0 & -2*a & \bruch{5}{7}*a-\bruch{5}{7} & | & 0 \\ 0 & 0 & 3*a - 8 + \bruch{5}{a} &|& 0 }
[/mm]
[mm] \to \pmat{ 1 & 2 & 1 & | & 0\\ 0 & 1 & -\bruch{5}{14}+\bruch{5}{14*a} & | & 0 \\ 0 & 0 & 3*a - 8 + \bruch{5}{a} &|& 0 }
[/mm]
So. Und nun sehen wir: Die Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn die letzte Zeile 0 wird. Dann gibt es nämlich unendlich viele Lösungen für das Gleichungssystem und nicht nur die triviale Lösung. Dies ist bei
a = 1 und a = [mm] \bruch{5}{3}
[/mm]
der Fall. Also muss man a so wählen, damit die Vektoren linear abhängig sind.
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Ich hatte doch einen kleinen Umform-Fehler drin, den hab ich korrigiert und meine Antwort dementsprechend überarbeitet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 So 30.03.2008 | | Autor: | idler |
danke, aber dieses matrix-system hilft mir leider nur wenig, da wir das in der schule noch nicht hatten und ich da so ausm stand wenig durch blicke.
ich meinte auch t=0 und r=1 sry^^
wäre nett wenn jmd. noch mal nen vorschlag oder ansatz zum anderen lösungsweg vorschlägt als mit dieser matrix :)
danke ;D
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Hallo!
Das Lösen von linearen Gleichungssytemem ist dir aber bekannt, oder?
Nun ich gehe mal davon aus:
Löse das folgende Gleichungssytem
x +2y +z=0
ax +8y +z=0
a²x+18y+z=0
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 So 30.03.2008 | | Autor: | idler |
ne, sry so langsam versteh ich gar nichts mehr.
wenn ich :
x+y+z=0
ax+8y+z=0
[mm] a^{2}x+18y+z=0
[/mm]
habe, habe ich ja 3 gleichungen aber 4 unbekannte a, x, y und z.
wie löse ich das denn bitte ? ;*(
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> ne, sry so langsam versteh ich gar nichts mehr.
>
> wenn ich :
>
> x+y+z=0
> ax+8y+z=0
> [mm]a^{2}x+18y+z=0[/mm]
>
> habe, habe ich ja 3 gleichungen aber 4 unbekannte a, x, y
> und z.
Hallo,
jein.
Deine Variablen, nach denen Du auflösen mußt, sind x,y,z.
Das a steht für irgendeine feste Zahl.
Statt daß Du das GS oben entsetzlich oft löst, z.B.
> x+y+z=0
> ax+8y+z=0
> [mm]1^{2}x+18y+z=0[/mm]
> x+y+z=0
> ax+8y+z=0
> [mm]2^{2}x+18y+z=0[/mm]
> x+y+z=0
> ax+8y+z=0
> [mm](-\wurzel{4711})^{2}x+18y+z=0[/mm]
usw.
mußt Du es nur einmal lösen.
Das System
> x+y+z=0
> ax+8y+z=0
> [mm]a^{2}x+18y+z=0[/mm]
löst Du mit einer der Dir bekannten Methoden nach x,y,z auf. Das a behandle hierbei, als stünde dort eine ganz normale Zahl.
(Aufpassen mußt Du nur beim eventuellen Dividieren. Wenn man z.B. durch a+8 dividiert, muß man notoeren [mm] "a\not=-8", [/mm] sonst würde man nämlich durch Null teilen. Den Fall a=-8 würde man anschließend untersuchen.)
Lösung z.B. so:
z=-x-y
Einsetzen in die beiden anderen Gleichungen ergibt:
0=ax+8y+(-x-y)=(a-1)x+(6-1)y=(a-1)x+5y
[mm] 0=a^2+18y+(-x-y)=(a^2-1)x+(18-1)y=(a^2-1)x+17y
[/mm]
Die erste nach y auflösen:
[mm] y=\bruch{1-a}{5}x
[/mm]
In die andere einsetzen:
[mm] 0=(a^2-1)x+17*\bruch{1-a}{5}x=(a^2-1-17*\bruch{a-1}{5})x=(a-1)(a-\bruch{12}{5})x
[/mm]
Nun kommt eine Stelle, an welcher man etwas nachdenken muß.
Wenn [mm] a\not=1 [/mm] und [mm] a\not=\bruch{12}{5} [/mm] ist, so muß x=0 sein.
"Rückwärts" einsetzen liefert y und z.
Wenn a=1 oder [mm] a=\bruch{12}{5} [/mm] ist, ist die Gleichung [mm] 0=-(1-a)(a-\bruch{12}{5})x [/mm] (<==>0=0) für jedes x richtig.
Fürs x hat man dann freie Auswähl,
y muß sein [mm] y=\bruch{1-a}{5}x, [/mm] und
z folglich [mm] z=-x-y=-x-\bruch{1-a}{5}x=(-1-\bruch{1-a}{5})x.
[/mm]
Da Du x frei wählen konntest, hast Du nun unendlich viele Lösungen für Dein System.
(Da es schon spät ist, kann ich nicht ausschließen, daß ich mich irgendwo verrechnet habe.
Es kommt mir hier in erster Linie darauf an, Dir das Prinzip zu zeigen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:31 Mo 31.03.2008 | | Autor: | idler |
ich habe die aufgabe jetzt verstanden und komme auch auf die richtige lösung . :D
schönen dank an allen die mir geholfen haben
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