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Hallo,
ich betrachte gerade die sogenannten verallgemeinerten trigonometrischen Polynome, d.h. Funktionen der Form
[mm] $$g(x)=\sum_{k=1}^N b_ke^{i\nu_kx}$$
[/mm]
mit [mm] $x\in\IR^n, b_k\in\IC, \nu_k\in\IR^n, [/mm] k=1,...,N$. Dieser Raum $X$ ist versehen mit der Supremumsnorm
[mm] $$\|f\|_\infty=\sup_{x\in\R^n}|f(x)|$$
[/mm]
Soweit so gut. Jetzt stolpere ich in meinem Buch aber über folgende Stelle:
die Klasse der verallgemeinerten trigonometrischen Polynome $X$ ist abgeschlossen ist unter linearer Koordinatentransformation,
d.h. für [mm] $A\in GL_n(\IR), G:\IR^n\rightarrow\IR$ [/mm] ist
[mm] $$G\in [/mm] X [mm] \Longleftrightarrow G\circ A\in [/mm] X$$
Davon verstehe ich jetzt nichts mehr. Was eine lineare Koordinatentransformation ist, kann ich mir so ungefähr vorstellen - das ist wahrscheinlich etwas in die Richtung Basiswechsel.
Aber woher die letzte Beziehung kommt, ist mir schleierhaft. Warum ist meine Funktion nach Koordinatentransformation immer noch periodisch? Kann ich denn einfach sagen:
[mm] $$g(Ax)=\sum_{k=1}^N b_ke^{i\nu_kAx}$$
[/mm]
Und wegen dem ''e hoch'' ist das ganze immer noch periodisch.
Kann mir das jemand erklären?
Danke! 
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Was ist das denn für ein Produkt im Exponenten der Exponentialfunktion? Damit das Ganze für mich einen Sinn ergibt, unterstelle ich einmal, daß es sich um das Standardskalarprodukt im [mm]\mathbb{R}^n[/mm] handelt. Das schreibe ich lieber in spitzen Klammern, um es vom Matrizenprodukt unterscheiden zu können. Wenn man die Vektoren [mm]\nu,x[/mm] als Spalten schreibt (den Index [mm]k[/mm] bei [mm]\nu[/mm] lasse ich zunächst weg), dann steht also im Exponenten eines Summanden ein Ausdruck der Art
[mm]\operatorname{i} \langle \nu , x \rangle = \operatorname{i} \nu^{\top} x[/mm]
Das hochgestellte [mm]\top[/mm] soll das Transponieren bezeichnen. Wenn man einen Zeilenvektor mit einem Spaltenvektor multipliziert, ist das dasselbe, wie wenn man das Skalarprodukt der Vektoren berechnet.
Wenn man nun [mm](G \circ A)(x) = G \left( Ax \right)[/mm] statt [mm]G(x)[/mm] betrachtet, ist daher nun [mm]x[/mm] durch [mm]Ax[/mm] zu ersetzen. In den Exponenten wirkt sich das folgendermaßen aus:
[mm]\operatorname{i} \langle \nu , Ax \rangle = \operatorname{i} \nu^{\top} Ax = \operatorname{i} \left( \nu^{\top} A \right) x = \operatorname{i} \left( A^{\top} \nu \right)^{\top} x[/mm]
Setzt man also [mm]\mu = A^{\top} \nu[/mm], so schreibt sich das so:
[mm]\operatorname{i} \langle \nu , Ax \rangle = \operatorname{i} \mu^{\top} x = \operatorname{i} \langle \mu , x \rangle[/mm]
So wird also in jedem Exponenten [mm]\nu_k[/mm] durch [mm]\mu_k = A^{\top} \nu_k[/mm] ersetzt. Damit hat der Funktionsterm die Bauart, wie sie der Definition von [mm]X[/mm] entspricht. Also ist auch [mm]G \circ A \in X[/mm].
Für die Rückrichtung benutzt man die Invertierbarkeit von [mm]A[/mm].
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