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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 So 17.01.2010 | | Autor: | Ayame |
| Aufgabe | Man gebe ein lineares Glerichungssytem mit Koeffizienten aus [mm] \IR [/mm] an, dess Lösungsmenge
[mm] \{(1,0,1,2,1) + \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) + \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10) |\lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \} [/mm] ist. |
Also ich hab sowas noch nie gemacht aber ich versuch mich mal dran.
Am einfachsten wär ein homogenes Gleichungssystem also sind alle [mm] b_{i}=0
[/mm]
[mm] a_{11} x_{1} [/mm] + [mm] a_{12} x_{2} +a_{13} x_{3} [/mm] + [mm] a_{14} x_{4} [/mm] + [mm] a_{15} x_{5} [/mm] = [mm] b_{1} [/mm] =0
[mm] a_{21} x_{1} [/mm] + [mm] a_{22} x_{2} +a_{23} x_{3} [/mm] + [mm] a_{24} x_{4} [/mm] + [mm] a_{25} x_{5} [/mm] = [mm] b_{2} [/mm] =0
[mm] a_{31} x_{1} [/mm] + [mm] a_{32} x_{2} +a_{33} x_{3} [/mm] + [mm] a_{34} x_{4} [/mm] + [mm] a_{35} x_{5} [/mm] = [mm] b_{3} [/mm] =0
[mm] a_{41} x_{1} [/mm] + [mm] a_{42} x_{2} +a_{43} x_{3} [/mm] + [mm] a_{44} x_{4} [/mm] + [mm] a_{45} x_{5} [/mm] = [mm] b_{4} [/mm] =0
[mm] a_{51} x_{1} [/mm] + [mm] a_{52} x_{2} +a_{53} x_{3} [/mm] + [mm] a_{54} x_{4} [/mm] + [mm] a_{55} x_{5} [/mm] = [mm] b_{5} [/mm] =0
und jetzt muss ich die Lösungsmenge einsetzten für die [mm] x_{i}:
[/mm]
[mm] x_{1} [/mm] = (1,0,1,2,1)
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] \lambda_{1} \in \IR
[/mm]
[mm] x_{3} [/mm] = [mm] \lambda_{2} \in \IR
[/mm]
[mm] x_{4} [/mm] = [mm] \lambda_{1}*(-1,1,2,0,0)
[/mm]
[mm] x_{5} [/mm] = [mm] \lambda_{2}*(-17,-7,0,4,10)
[/mm]
Und meine Aufgabe ist es die [mm] a_{ij} [/mm] auszurechnen, oder ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Man gebe ein lineares Glerichungssytem mit Koeffizienten
> aus [mm]\IR[/mm] an, dess Lösungsmenge
>
> [mm]\{(1,0,1,2,1) + \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) + \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10) |\lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \}[/mm]
> ist.
> Also ich hab sowas noch nie gemacht aber ich versuch mich
> mal dran.
>
> Am einfachsten wär ein homogenes Gleichungssystem also
> sind alle [mm]b_{i}=0[/mm]
>
> [mm]a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} +a_{13} x_{3} + a_{14} x_{4} + a_{15} x_{5} = b_{1} =0[/mm]
> [mm]a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} +a_{23} x_{3}[/mm] + [mm]a_{24} x_{4} + a_{25} x_{5}[/mm] = [mm]b_{2}[/mm] =0
> [mm]a_{31} x_{1} + a_{32} x_{2} +a_{33} x_{3}[/mm] + [mm]a_{34} x_{4} + a_{35} x_{5}[/mm] = [mm]b_{3}[/mm] =0
> [mm]a_{41} x_{1} + a_{42} x_{2} +a_{43} x_{3}[/mm] + [mm]a_{44} x_{4} + a_{45} x_{5}[/mm] = [mm]b_{4}[/mm] =0
> [mm]a_{51} x_{1} + a_{52} x_{2} +a_{53} x_{3}[/mm] + [mm]a_{54} x_{4} + a_{55} x_{5}[/mm] = [mm]b_{5}[/mm] =0
Nein, das geht nicht, denn ein homogenes Gleichungssystem hat immer den Nullvektor als eine mögliche Lösung; der Nullvektor ist aber nicht Element des angegebenen Lösungsraums. (Versuche, [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] so zu bestimmen, dass fünf mal der Wert 0 herauskommt: das geht nicht.)
>
> und jetzt muss ich die Lösungsmenge einsetzten für die
> [mm]x_{i}:[/mm]
>
> [mm]x_{1}[/mm] = (1,0,1,2,1)
> [mm]x_{2}[/mm] = [mm]\lambda_{1} \in \IR[/mm]
> [mm]x_{3}[/mm] = [mm]\lambda_{2} \in \IR[/mm]
>
> [mm]x_{4}[/mm] = [mm]\lambda_{1}*(-1,1,2,0,0)[/mm]
> [mm]x_{5}[/mm] = [mm]\lambda_{2}*(-17,-7,0,4,10)[/mm]
Das kann nicht sein; die Aufgabe bedeutet doch, dass
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3\\x_4\\x_5} = \vektor{1\\0\\1\\2\\1} + \lambda_{1}\vektor{-1\\1\\2\\0\\0} + \lambda_{2}\vektor{-17\\-7\\0\\4\\10} [/mm],
oder
[mm] x_1 = 1 - \lambda_1 -17 \lambda_2 [/mm]
[mm] x_2 = \lambda_1 -7 \lambda_2 [/mm]
[mm] x_3 = 1 +2 \lambda_1 [/mm]
[mm] x_4 = 2 + 4 \lambda_2 [/mm]
[mm] x_5 = 1 + 10 \lambda_2 [/mm]
>
> Und meine Aufgabe ist es die [mm]a_{ij}[/mm] auszurechnen, oder ?
Richtig. Das ist nicht eindeutig möglich. Zum Beispiel kannst du ja in deinem Gleichungssystem eine ganze Zeile mit irgendeiner Zahl [mm] $\not=0$ [/mm] malnehmen, ohne dass sich die Lösung ändert. Deswegen darfst du den einen Koeffizienten in jeder Zeile einfach 1 setzen, also zum Beispiel [mm] $a_{i1}= [/mm] 1$.
Und jetzt nimm dir mal eine Zeile her und setze die [mm] $x_j$ [/mm] ein:
[mm]b_i = a_{i1} x_{1} + a_{i2} x_{2} +a_{i3} x_{3} + a_{i4} x_{4} + a_{i5} x_{5} [/mm]
[mm] = a_{i1} (1 - \lambda_1 -17 \lambda_2) + a_{i2} (\lambda_1 -7 \lambda_2) + a_{i3}(1 +2 \lambda_1) +a_{i4} (2 + 4 \lambda_2 )+ a_{i5}(1 + 10 \lambda_2 ) [/mm]
[mm] = (a_{i1} + a_{i3} +2 a_{i4} +a_{i5}) + \lambda_1(-a_{i1}+a_{i2}+2a_{i3}) + \lambda_2(-17a_{i1}-7a_{i2}+4a_{i4}+10a_{i5}) [/mm]
Diese Gleichung gilt für beliebige Werte von [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] und für alle $i=1,2,3,4,5$ Welchen Wert müssen also die Ausdrücke in den Klammern haben?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 So 17.01.2010 | | Autor: | Ayame |
> in jeder Zeile einfach 1 setzen, also zum Beispiel [mm]a_{i1}= 1[/mm].
> [mm]b_i = a_{i1} x_{1} + a_{i2} x_{2} +a_{i3} x_{3} + a_{i4} x_{4} + a_{i5} x_{5}[/mm]
>
> [mm]= a_{i1} (1 - \lambda_1 -17 \lambda_2) + a_{i2} (\lambda_1 -7 \lambda_2) + a_{i3}(1 +2 \lambda_1) +a_{i4} (2 + 4 \lambda_2 )+ a_{i5}(1 + 10 \lambda_2 )[/mm]
>
> [mm]= (a_{i1} + a_{i3} +2 a_{i4} +a_{i5}) + \lambda_1(-a_{i1}+a_{i2}+2a_{i3}) + \lambda_2(-17a_{i1}-7a_{i2}+4a_{i4}+10a_{i5})[/mm]
>
> Diese Gleichung gilt für beliebige Werte von [mm]\lambda_1[/mm] und
> [mm]\lambda_2[/mm] und für alle [mm]i=1,2,3,4,5[/mm] Welchen Wert müssen
> also die Ausdrücke in den Klammern haben?
>
die [mm] a_{ij} [/mm] (j : 1...5) sind alle vom wert 1 nach dem [mm] a_{i1}=1 [/mm] gesetzt wurde? die [mm] a_{ij} [/mm] in den klammern entprechen doch den Vektoren der Lösungsmenge oder ?
Tut mir leid. ich begreife einfach den sachverhalt nicht :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:29 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > in jeder Zeile einfach 1 setzen, also zum Beispiel [mm]a_{i1}= 1[/mm].
>
>
> > [mm]b_i = a_{i1} x_{1} + a_{i2} x_{2} +a_{i3} x_{3} + a_{i4} x_{4} + a_{i5} x_{5}[/mm]
>
> >
> > [mm]= a_{i1} (1 - \lambda_1 -17 \lambda_2) + a_{i2} (\lambda_1 -7 \lambda_2) + a_{i3}(1 +2 \lambda_1) +a_{i4} (2 + 4 \lambda_2 )+ a_{i5}(1 + 10 \lambda_2 )[/mm]
>
> >
> > [mm]= (a_{i1} + a_{i3} +2 a_{i4} +a_{i5}) + \lambda_1(-a_{i1}+a_{i2}+2a_{i3}) + \lambda_2(-17a_{i1}-7a_{i2}+4a_{i4}+10a_{i5})[/mm]
>
> >
> > Diese Gleichung gilt für beliebige Werte von [mm]\lambda_1[/mm] und
> > [mm]\lambda_2[/mm] und für alle [mm]i=1,2,3,4,5[/mm] Welchen Wert müssen
> > also die Ausdrücke in den Klammern haben?
> >
>
> die [mm]a_{ij}[/mm] (j : 1...5) sind alle vom wert 1 nach dem
> [mm]a_{i1}=1[/mm] gesetzt wurde? die [mm]a_{ij}[/mm] in den klammern
> entprechen doch den Vektoren der Lösungsmenge oder ?
Nein. Das ist eine der fünf Gleichungen des Gleichungssystems, in die die vorgegebenen Lösungen eingesetzt sind. Diese Gleichungen müssen für alle möglichen Werte von [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$ [/mm] erfüllt sein. Das geht nur, wenn die beiden Klammerausdrücke Null sind:
[mm] (-a_{i1}+a_{i2}+2a_{i3}) = 0[/mm]
[mm] (-17a_{i1}-7a_{i2}+4a_{i4}+10a_{i5}) [/mm]
Und dann bleibt: [mm] b_i = (a_{i1} + a_{i3} +2 a_{i4} +a_{i5}) [/mm].
(und das für alle $i=1,2,3,4,5$).
Dies sind die Bedingungen für jeweils eine der Gleichungen, unabhängig von den anderen 4. Dies ist aber noch nicht alles, denn damit hast du zwar berücksichtigt, dass Lösungen aus dem angegebenen Lösungsraum das Gleichungssystem lösen, aber es ist nirgendwo verwendet, dass es keine weiteren Lösungen gibt.
Anders gesagt: diese Gleichungen sind die Antwort auf die Frage: wie müssen die einzelnen Gleichungen aussehen, damit die gegebenen Lösungen passen?
Die verbleibende Frage ist nun: Wie muss das Gleichungssystem als Ganzes aussehen, damit der gewünschte Lösungsraum herauskommt? Der Lösungsraum hat 2 Parameter [mm] $\lambda_1$ [/mm] und [mm] $\lambda_2$, [/mm] ist also zweidimensional. Wie muss also das Gleichungssystem beschaffen sein, damit der Lösungsraum zweidimensional ist?
Viele Grüße
Rainer
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Könnte das aussehen?
A [mm] \vektor{1 -\lambda_{1} -17\lambda_{2} \\ \lambda_{1} - 7\lambda_{2} \\ 1 + 2\lambda_{1} \\ 2 + \lambda_{2} \\ 1 + 10\lambda_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}
[/mm]
Oder ist das jetzt vollkommener Schwachsinn? Außerdem weiß ich dann immer noch nicht, wie die Matrix A aussieht...
Wäre echt nett, wenn vielleicht jemand NOCH einen Tipp geben könnte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:20 So 17.01.2010 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Könnte das aussehen?
>
> A [mm]\vektor{1 -\lambda_{1} -17\lambda_{2} \\ \lambda_{1} - 7\lambda_{2} \\ 1 + 2\lambda_{1} \\ 2 + \lambda_{2} \\ 1 + 10\lambda_{2}} = \vektor{1 \\ 1 \\ 2 \\ 1}[/mm]
>
> Oder ist das jetzt vollkommener Schwachsinn? Außerdem
> weiß ich dann immer noch nicht, wie die Matrix A
> aussieht...
Rechts müssten schon 5 statt 4 Zeilen stehen.
> Wäre echt nett, wenn vielleicht jemand NOCH einen Tipp
> geben könnte.
Der Lösungsraum ist laut Aufgabe
[mm] \{(1,0,1,2,1) + \lambda_{1}(-1,1,2,0,0) + \lambda_{2}(-17,-7,0,4,10) \mid\lambda_{1},\lambda_{2} \in \IR \} [/mm]
Daher sind $(-1,1,2,0,0)$ und $(-17,-7,0,4,10)$ Lösungen des homogenen Gleichungssystems, und $(1,0,1,2,1)$ eine Lösung des inhomogenen Gleichungssystems. (Das ergibt gerade die drei Gleichungen pro Zeile des Gleichungssystems.)
Noch ein Tipp: welche Dimension hat der Lösungsraum? Welchen Rang hat also die Matrix des Gleichungssystems?
Viele Grüße
Rainer
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> Rechts müssten schon 5 statt 4 Zeilen stehen.
Ja, bei der rechten Seite hab ich einen Koeffizienten vor einem a übersehen.
Also, ich bin irgendwie immer noch verwirrt, was die Matrix angeht. Ich weiß lediglich, dass sie den Rang 2 hat, weil die Dimension des Lösungsraumes 2 ist.
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 2 & 0 & 0 \\ -17 & -7 & 0 & 4 & 10 } \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \\ x_{5}} [/mm] = ?
Aber das kann ja eigentlich nicht sein. Vor allem, woher weiß ich wie die rechte Seite aussieht?
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Hallo,
lies mal da.
Gruß v. Angela
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