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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 So 10.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
ich habe ein überbestimmtes Gleichungssystem. Also $Ax=b$, $A [mm] \in \IR^{m \times n}$, [/mm] $x [mm] \in \IR^n$, [/mm] $b [mm] \in \IR^m$ [/mm] und somit $m>n$.
Nun habe ich diese Gleichungen aber z.B. aus einer Messreihe gewonnen und somit sind die [mm] $b_i$ [/mm] ungenau. Ich möchte also die [mm] $x_j$ [/mm] so bestimmen, dass die Abweichung der Messwerte [mm] $b_i$ [/mm] von den exakten Werten $ [mm] \hat b_i$ [/mm] möglichst gering ist.
D.h. ich kann das Problem lösen, indem ich [mm] $\summe_{i=1}^{n} (\hat b_i [/mm] - [mm] b_i) [/mm] = min$ (A) löse.
Ich habe also zwei Systeme:
1) $Ax=b$
2) $A [mm] \hat [/mm] x= [mm] \hat [/mm] b$.
Daraus könnte ich nun aber auch eine Lineare Ausgleichsaufgabe machen und gesucht wäre die Lösung von $||A [mm] \hat [/mm] x - b|| [mm] \le [/mm] ||Ax=b||$ (B).
Das kann ich aber nach dem Projektionssatz umformen und würde dann die Lösung von $(A [mm] \hat [/mm] x - b, Ax) = 0$ (C) suchen.
Umgeformt würde es heißen: ich suche die Lösung einer Normalengleichung, und zwar von [mm] $A^T [/mm] xA [mm] \hat x=A^T [/mm] x$.
Und weil das Lösen nach diesem ganzen Schema die Kondition des gebenen Problems von Schritt zu Schritt verschlechtern würde, hat man das Verfahren mit den Householder-Matrizen entwickelt.
Ist der Zusammenhang richtig? Oder wo liegen die Fehler?
Ich bedanke mich recht herzlich.
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mo 11.10.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Regine!
Hier geht einiges durcheinander bzw. ich verstehe es nicht. Vielleicht kannst du ja auf den einen oder anderen Punkt mal näher eingehen.
> ich habe ein überbestimmtes Gleichungssystem. Also [mm]Ax=b[/mm], [mm]A \in \IR^{m \times n}[/mm],
> [mm]x \in \IR^n[/mm], [mm]b \in \IR^m[/mm] und somit [mm]m>n[/mm].
>
> Nun habe ich diese Gleichungen aber z.B. aus einer
> Messreihe gewonnen und somit sind die [mm]b_i[/mm] ungenau. Ich
> möchte also die [mm]x_j[/mm] so bestimmen, dass die Abweichung der
> Messwerte [mm]b_i[/mm] von den exakten Werten [mm]\hat b_i[/mm] möglichst
> gering ist.
>
> D.h. ich kann das Problem lösen, indem ich [mm]\summe_{i=1}^{n} (\hat b_i - b_i) = min[/mm]
> (A) löse.
Über was wird hier minimiert?
> Ich habe also zwei Systeme:
>
> 1) [mm]Ax=b[/mm]
> 2) [mm]A \hat x= \hat b[/mm].
> Daraus könnte ich nun aber auch eine Lineare
> Ausgleichsaufgabe machen und gesucht wäre die Lösung von
> [mm]||A \hat x - b|| \le ||Ax=b||[/mm] (B).
Mir ist der Zusammenhang hier zu den fehlerbehafteten Daten nicht klar. Ich denke das eine hat mit dem anderen nichts zu tun. Den linearen Ausgleich muss ich deswegen machen, weil das Gleichungssystem überbestimmt ist und deshalb nicht notwendigerweise $b [mm] \in \mbox{Bild}(A)$ [/mm] gilt.
> Das kann ich aber nach dem Projektionssatz umformen und
> würde dann die Lösung von [mm](A \hat x - b, Ax) = 0[/mm] (C)
> suchen.
Wobei die Gleichung für alle $x$ zu lösen ist...
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Umgeformt würde es heißen: ich suche die Lösung einer
> Normalengleichung, und zwar von [mm]A^T xA \hat x=A^T x[/mm].
Hier stimmt was nicht. ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Muss es nicht
$A^TA [mm] \hat{x} [/mm] = A^Tb$
heißen??
> Und weil das Lösen nach diesem ganzen Schema die Kondition
> des gebenen Problems von Schritt zu Schritt verschlechtern
> würde, hat man das Verfahren mit den Householder-Matrizen
> entwickelt.
Das hat nichts speziell mit dem Verfahren zu tun. Es ist aber richtig, dass das Householder-Verfahren die Kondition nicht weiter verschlechtert.
Liebe Grüße
Julius
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