lin. Abhängigkeit von Matrizen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Mi 09.04.2008 | | Autor: | Bochi |
| Aufgabe | Gegeben sind folgenden schiefsymmetrische 3x3 Matrizen.
A= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0} [/mm] B= [mm] \pmat{ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0} [/mm] C= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0} [/mm] D= [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0}
[/mm]
(a) Zeigen sie, dass A, B, C und D linear abhängig sind.
(b) Welche der gegebenen Matrizen liegt in Lin(A,B)?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. |
Aufgabe a) habe ich gelöst (0 kann nichttrivial dargestellt werden).
A und B sind offensichtlich in Lin(A,B), Matrix C auch weil sie sich durch A und B "kombinieren" lässt. Ich komme mit der Matrix D nicht klar.
Man sagte mir man müsste 0=aA(x) + bB(x) + dD(x) in einem LGS darstellen und prüfen ob man auf den vollen Rang kommt. -> Matrizen linear unabhängig.
Aber wie rechnet man so eine Aufgabe mit Matrizen? Mit Vektoren ist das ja kein Problem aber mit Matrizen? Ich kriegs iwie nich hin. Und was besagt A(x)? Wieso wird die Matrix von einem x abhängig gemacht? Ich will doch nur ein a, ein b und ein d haben.
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> Gegeben sind folgenden schiefsymmetrische 3x3 Matrizen.
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> A= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0}[/mm] B= [mm]\pmat{ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0}[/mm]
> C= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & -1 & 0}[/mm] D= [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0}[/mm]
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> (a) Zeigen sie, dass A, B, C und D linear abhängig sind.
> (b) Welche der gegebenen Matrizen liegt in Lin(A,B)?
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Aufgabe a) habe ich gelöst (0 kann nichttrivial
> dargestellt werden).
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> A und B sind offensichtlich in Lin(A,B), Matrix C auch weil
> sie sich durch A und B "kombinieren" lässt. Ich komme mit
> der Matrix D nicht klar.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Eigentlich hast Du alles notwendige schon selbst gesagt.
Du mußt prüfen, ob Du D als Linearkombination von A unB darstellen kannst, ob es also a,b gibt mit
aA+bB=D, also
[mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0}=a*\pmat{ 0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ -2 & -1 & 0}+b*\pmat{ 0 & 1 & -2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 0}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & a & 2a \\ -a & 0 & a \\ -2a & -a & 0}+\pmat{ 0 & b & -2b \\ ... & ... & ... \\ ...& ... & ...}
[/mm]
[mm] =\pmat{ 0 & a+b & 2a-2b \\ ... & ... & ... \\ ...& ... & ...}.
[/mm]
(Dann mußt Du komponentenweise vergleichen. Das liefert Dir ein GS mit 9 Gleichungen und zwei Variablen, welches Du auf Lösbarkeit untersuchen mußt.)
==>
0=0
1=a+b
0=2a-2b
[mm] \vdots
[/mm]
Versuch's mal, bei weiteren Fragen melde Dich.
Gruß v. Angela
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