lin. Abb. - Einheitsvek. Basis < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:38 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Murray |
| Aufgabe | Eine lineare Abbildung [mm] \alpha [/mm] hat bezüglich der Basus B={ [mm] \vec{b_{1}},\vec{b_{2}} [/mm] } zum Eigenwert [mm] \lambda1=-2 [/mm] den Eigenraum [mm] U_{1}={ k \vektor{1 \\ 0} | k \in \IR } [/mm] und zum Eigenwert [mm] \lambda2=2 [/mm] den Eigenraum [mm] U_{2}={ k \vektor{1 \\ -3 } | k \in \IR }.
[/mm]
Bestimmen Sie eine Basis ^B aus Eigenvektoren und die Abbildungsgleichung von [mm] \alpha [/mm] bezüglich ^B. |
Hallo,
Also: Eigenvektoren sind ja klar. Und das Ergebnis soll nachher die Matrix [mm] A=\pmat{ \lambda & 0 \\ 0 & \lambda } [/mm] sein.
Problem dabei ist nur, dass wenn ich A mit dem zweiten Eigenvektor [mm] v=\vektor{1 \\ -3} [/mm] multipliziere den vektor [mm] \vektor{-2 \\ -6} [/mm] erhalte und nicht den vektor [mm] \vektor{2 \\ -6}, [/mm] der sich ergeben würde wenn ich mit [mm] \lamdba [/mm] multipliziere.
Daher meine Frage: Wieso? Ich bezweifele mal dass unser Mathelehrer sich verrechnet hat und seine Argumentation wie man die Matrix A erhält ist für mich auch nachvollziehbar.
Klar ist natürlich, dass die Matrix A nachher bezüglich der Basis aus v1 und v2 gilt und nicht bezüglich der Einheitsbasisvektoren.
Könnt ihr mir also vll. erklären wieso ich unterschiedliche Ergebnisse für den Bildvektor von v2 erhalte, je nachdem ob ich mit A oder /lambda multipliziere?
Danke schonmal im voraus.
mfg Murray
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 Sa 13.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
die Erklärung ist recht einfach:
die Diagonalmatrix ist ja bzgl der Eigenvektoren [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] als Basis dargestellt, d.h. wenn du einen Vektor an diese Matrix ranmultiplizierst, so muss der Vektor auch bzgl dieser Basis dargestellt sein, damit das richtige rauskommt.
(das ergebnis der multiplikation kommt auch bzgl der neuen Basis raus.)
also in deinem fall ist die neue Basis ja : { [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] }
[mm] v_2 [/mm] bzgl dieser Basis ist dann also der Vektor : [mm] $\vektor{0\\1}$
[/mm]
und wenn du den Vektor an die Matrix multiplizierst, bekommst du auch [mm] $\lambda_2 *\vektor{0\\1}$ [/mm] als ergebnis, das entspricht natürlich gerade [mm] $\lambda_2 *v_2$ [/mm] in alter Basis...
hoffe, es ist jetzt was klarer geworden
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:37 Sa 13.01.2007 | | Autor: | Murray |
Ah danke. Jetzt ist einiges klarer, aber eine kleine Frage bleibt noch:
Wieso ist [mm] \vec{v_{2}} [/mm] bzgl der neuen basis [mm] \vektor{0\\ 1} [/mm] ?
Wie kommt man darauf? Also wie genau formt man Vektoren auf eine neue Basis um?
mfg Murray
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:37 So 14.01.2007 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
> Wie kommt man darauf? Also wie genau formt man Vektoren auf
> eine neue Basis um?
hehe, also wenn du es wirklich genau (bzgl beliebiger Basen) wissen willst, musst du dir mal den Artikel  Transformationsmatrix durchlesen, aber der ist ziemlich abstrakt, wenn es um Schulniveu geht...
ich versuche es mal einfach zu erklären:
also sei v ein Beliebiger Vektor und B= { [mm] b_1 [/mm] , [mm] b_2 [/mm] } eine beliebige Basis, dann findet man Koeffizienten r und s, so dass : [mm] $v=r*b_1+s*b_2$ [/mm] ist.
dann kann man v bzgl Basis B darstellen als : [mm] $\vektor{r\\s}$
[/mm]
es ist wichtig, dass die Reihenfolge der Basisvektoren festgelegt ist und, dass die Darstellung eindeutig ist (also r und s existieren eindeutig nach Wahl von B)...
(das folgt alles aus dem wichtigen Begriff der linearen unabhängigkeit !)
so, wenn v jetzt selbst ein Basisvektor ist, also z.B. [mm] v=b_2, [/mm] dann ist wegen der eindeutigkeit : r=0 und s=1, also [mm] $v=0*b_1+1*b_2$
[/mm]
als Vektor dargestellt gerade : [mm] $\vektor{0\\1}$
[/mm]
ich hoffe, du verstehst, was ich meine...
mal ein praktisches Beispiel:
der Vektor [mm] $v=\vektor{1\\3}$ [/mm] ist bzgl standardbasis: [mm] $v=1*\vektor{1\\0}+3*\vektor{0\\1}$, [/mm] also wirklich der Vektor $ [mm] \vektor{1\\3} [/mm] $
aber bzgl der Basis $B'= [mm] \{ \vektor{1\\8} , \vektor{0\\1} \}$
[/mm]
wäre [mm] $v=1*\vektor{1\\8}-5*\vektor{0\\1}$, [/mm] also gerade der Vektor [mm] $\vektor{1\\-5}$
[/mm]
p.s. : keine sorge, wenn dies auf dem ersten Blick sehr abstrakt erscheinen mag - das ist einfach so und man gewöhnt sich mit der zeit an solche dinge
wichtig ist eigentlich nur, dass der i-te Basisvektor bzgl DIESER Basis auch nur genau an i-ter Stelle eine 1 hat (ansonsten überall nur Nullen)
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:03 So 14.01.2007 | | Autor: | Murray |
Vielen Dank. Hab allse verstanden. Das ist wohl genau das was unser Mathelehrer auch meinte, aber nun hab ichs kapiert^^
:) Danke.
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