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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
| Aufgabe | | Für eine beschränkte Folge [mm] (a_n) [/mm] in [mm] \IR [/mm] sei [mm] s_k [/mm] := [mm] sup\{a_n|n \ge k\}. [/mm] Zeigen sie, dass die Folge monoton fallend ist und [mm] lim'sup_{n\rightarrow\infty} a_n [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} s_k [/mm] gilt. |
Hallo und Hilfe.
Ich komme nicht so recht vorran mit dieser Aufgabe.
Als erstes habe ich Eigenschaften für [mm] (a_n) [/mm] zusammengetragen, die ich für mehr oder weniger hilfreich hielt:
[mm] |a_n| \le [/mm] p --> also beschränktheit
Für alle [mm] \varepsilon>0: [/mm] existiert ein N aus [mm] \IN: [/mm] für das für alle n aus [mm] \IN [/mm] mit n>N gilt: [mm] |a_n-a|<\varepsilon [/mm] --> also, dass ein Grenzwert a existiert
Für alle [mm] \varepsilon>0: a_n
Damit [mm] (s_k) [/mm] monoton fallend ist muss gelten:
für k<m ist [mm] s_n>s_m [/mm] also auch [mm] sup\{a_n|n\gek\}>sup\{a_n|n\ge\m}
[/mm]
Reicht das aus, um die Aufgabe zu lösen oder sollte ich mir andere Eigenschaften ansehen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Für eine beschränkte Folge [mm](a_n)[/mm] in [mm]\IR[/mm] sei [mm]s_k[/mm] :=
> [mm]sup\{a_n|n \ge k\}.[/mm] Zeigen sie, dass die Folge monoton
> fallend ist und [mm]lim'sup_{n\rightarrow\infty} a_n[/mm] =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} s_k[/mm] gilt.
> Hallo und Hilfe.
> Ich komme nicht so recht vorran mit dieser Aufgabe.
>
> Als erstes habe ich Eigenschaften für [mm](a_n)[/mm]
> zusammengetragen, die ich für mehr oder weniger hilfreich
> hielt:
>
> [mm]|a_n| \le[/mm] p --> also beschränktheit
>
> Für alle [mm]\varepsilon>0:[/mm] existiert ein N aus [mm]\IN:[/mm] für das
> für alle n aus [mm]\IN[/mm] mit n>N gilt: [mm]|a_n-a|<\varepsilon[/mm]
> --> also, dass ein Grenzwert a existiert
>
> Für alle [mm]\varepsilon>0: a_n
> fast alle n aus [mm]\IN[/mm]
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> Damit [mm](s_k)[/mm] monoton fallend ist muss gelten:
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> für k<m ist [mm]s_n>s_m[/mm] also auch
> [mm]sup\{a_n|n\gek\}>sup\{a_n|n\ge\m}[/mm]
>
> Reicht das aus, um die Aufgabe zu lösen oder sollte ich mir
> andere Eigenschaften ansehen?
Für den Nachweis, dass die Folge der [mm] $s_k$ [/mm] (schwach) monoton fallend ist, genügt es doch zu wissen, dass allgemein [mm] $A\subseteq B\Rightarrow \sup A\leq \sup [/mm] B$ gilt (Grund: jede obere Schrankte von $B$ muss wegen [mm] $A\subseteq [/mm] B$ auch eine obere Schranke von $A$ sein).
Ist dies klar, so folgt sogleich wegen [mm] $\{a_n | n\geq k+1\}\subseteq \{a_n | n\geq k\}$ [/mm] auch [mm] $s_{k+1}\leq s_k$ [/mm] (für alle $k$).
Für den Beweis von [mm] $\limsup_{n\rightarrow \infty} a_n=\lim_{k\rightarrow \infty} s_k$ [/mm] würde ich erst einmal ausführlicher hinschreiben, wie [mm] $\limsup_{n\rightarrow \infty} a_n$ [/mm] definiert ist. Denn diese Gleichheit scheint mir geradezu "definitionsgemäss" zu gelten:
[mm]\limsup_{n\rightarrow \infty}a_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \sup\{a_k| k\geq n\}=\lim_{n\rightarrow \infty} s_n[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:49 Mi 11.06.2008 | | Autor: | MissRHCP |
Danke.
Man sieht es und schlägt sich vor den Kopf. War es doch wieder mal so einfach.
Vielen Dank
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