limes berechnen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Do 12.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo,
kann mir jemand sagen, wie ich den Grenzwert berechnen sollte:
[mm] \lim_{x\searrow 0}x\left| \log(x) \right|^\alpha [/mm] , [mm] \alpha [/mm] > 0
Danke im Voraus,
Gruß
Gosch
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Hallo gosch,
> Hallo,
>
> kann mir jemand sagen, wie ich den Grenzwert berechnen
> sollte:
> [mm]\lim_{x\searrow 0}x\left| \log(x) \right|^\alpha[/mm] ,
> [mm]\alpha[/mm] > 0
da es sich um einen unbestimmten Ausdruck (für x->0) handelt, hilft hier wohl nur die LHospitalscheRegel.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 12.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo MathePauer,
dann wäre es [mm] \lim_{x\searrow 0}\alpha\left|\log(x)\right|^{\alpha-1}*\bruch{1}{x}, [/mm] was hilft mir das aber weiter?
Existiert überhaupt [mm] \log(x), [/mm] wenn [mm] \mathit{x<0}, [/mm] weil der Limes geht doch von der rechten Seite gegen 0.
Gruß
Gosch
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Hallo,
du kannst doch das so umschreiben:
[mm] \bruch{(log(x))^{n}}{\bruch{1}{x}}.
[/mm]
Das ist nun für [mm] x\to [/mm] 0 ein Ausdruck der Form
[mm] \bruch{\infty}{\infty}
[/mm]
und den kannst du mit l'Hospital ausrechnen!
Tipp: Wende die Regel n-mal an. Dan verschwindet dein n, weil n>0 vorausgesetzt wurde. Kettenregel beachten!
Viele Grüße
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 Do 12.01.2006 | | Autor: | gosch |
Hallo Daniel,
danke für deine Tipps, allerdings stimmt bei mir was nicht. Nach n-mal Anwendungen von de 'lHospital erhalte ich:
[mm] \lim_{x\searrow0}\bruch{n!}{\bruch{1}{x}}, [/mm]
der Term im Nenner stört mich immer noch. Was mache ich mit dem?
Oder kann ich jetzt schreiben, dass der Grenzwert gleich Null ist?
Gruß
Gosch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Fr 13.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gosch!
Du musst noch etwas mit den Vorzeichen aufpassen. Nach $n_$-mal de l'Hospital entsteht folgendes.
Das kannst Du dann noch umformen (Doppelbruch auflösen):
$... \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\left[\red{(-1)^n}*\bruch{n!}{\bruch{1}{x}}\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{x\rightarrow 0\downarrow}\left[(-1)^n*n!*x\right] [/mm] \ = \ [mm] (-1)^n*n!*0 [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:31 Sa 14.01.2006 | | Autor: | gosch |
Danke Loddar,
Gosch
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