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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 Mi 11.04.2012 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Geben sie diesen Grenzwert an:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right|$ [/mm] |
Ich hab soweit mal vereinfacht:
[mm] $\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| [/mm] = ... = [mm] \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{e^{n \cdot ln(2)+n}}{\sqrt{n}\cdot e^{n\cdot ln(n)}} \right|$
[/mm]
Weiter vereinfachen kann ich nicht mehr, bzw. ich sehe es nicht. Wenn ich in diesem Stadium die Grenzwertbetrachtung mache, dann kommt ja [mm] "$\frac{\infty}{\infty}$" [/mm] raus; das ist ja schwachsinn...
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Hallo bandchef,
> Geben sie diesen Grenzwert an:
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> [mm]\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right|[/mm]
>
> Ich hab soweit mal vereinfacht:
>
> [mm]\lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| = ... = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{e^{n \cdot ln(2)+n}}{\sqrt{n}\cdot e^{n\cdot ln(n)}} \right|[/mm]
>
> Weiter vereinfachen kann ich nicht mehr, bzw. ich sehe es
> nicht. Wenn ich in diesem Stadium die Grenzwertbetrachtung
Eine Vereinfachung gibt es noch:
[mm]\wurzel{n}=e^{\bruch{1}{2}*\ln\left(n\right)}[/mm]
> mache, dann kommt ja "[mm]\frac{\infty}{\infty}[/mm]" raus; das ist
> ja schwachsinn...
Da Du jetzt einen unbestimmten Ausdruck der Form "[mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm]" hast,
kannst Du L'hospital anwenden.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:57 Mi 11.04.2012 | | Autor: | bandchef |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Oh, das hab ich ganz übersehen:
$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| = ... = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot \lim_{n \to \infty} \left| \frac{e^{n \cdot ln(2)+n}}{e^{ln(n)\left(\frac{1}{2}+n\right)}}} \right| $
Wenn ich hier nun den Nenner bzw. den Zähler differenziere, werden die beiden Terme nur noch größer; sprich es fällt nirgends ein n weg... Ich denk schon fast, dass der l'Hospital hier nicht so passt...
Ich hab auch mal was gehört, dass man mit der Stirling-Formel abschätzen kann; aber ich weiß nicht wie das geht, noch dazu hier in diesem Fall wo doch in $\frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n}$ diese Stirling-Formel (Nenner) eh schon drin steckt...
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Hiho,
warum so kompliziert??
$ [mm] \lim_{n \to \infty} \left| \frac{2^n}{\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n} \right| [/mm] = [mm] \bruch{1}{\sqrt{2\pi}}\lim_{n \to \infty}\bruch{1}{\sqrt{n}}\left(\bruch{2e}{n}\right)^n$
[/mm]
Na und [mm] $\bruch{1}{\sqrt{n}} \to [/mm] 0$ als auch [mm] $\left(\bruch{2e}{n}\right)^n \to [/mm] 0$ ist offensichtlicht....
MFG,
Gono.
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