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lim sup & lim inf, allg. Frage: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:55 Di 22.12.2009
Autor: ChopSuey

Hallo,

ich würde gerne wissen, ob es bei Folgen zur Bestimmung vom limes superior (bzw. limes inferior) eine allgemeine Vorgehensweise gibt.

Ich habe hier beispielsweise die Folge:

$\ [mm] a_n [/mm] := [mm] (-1)^n \wurzel[n]{n} [/mm] + [mm] \frac{1}{\wurzel[n]{n!}} [/mm] $

Ich dachte grundsätzlich, dass man die Teilfolgen $\ [mm] a_{2k} [/mm] $ und $\ [mm] a_{2k+1} [/mm] $ betrachtet und deren Grenzwerte jeweils $\ [mm] \lim \sup$ [/mm] bzw $\ [mm] \lim \inf [/mm] $ sein sollten. Ist das denn in etwa richtig?

Falls dem so ist, so habe ich bei dieser Aufgabe jedenfalls Probleme den Grenzwert richtig zu berechnen.

Es ist $\ [mm] a_{2k} [/mm] := [mm] (-1)^{2k} \wurzel[2k]{2k} [/mm] + [mm] \frac{1}{\wurzel[2k]{2k!}} [/mm] =   [mm] \wurzel[2k]{2k} [/mm] + [mm] \frac{1}{\wurzel[2k]{2k!}}$ [/mm]

$\ [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} a_{2k} [/mm] = [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \left( \wurzel[2k]{2k} + \frac{1}{\wurzel[2k]{2k!}} \right)$ [/mm]

Wie mach ich denn, unter der Voraussetzung dass das bis hier überhaupt stimmt, richtig weiter?

Ich darf ja die Summanden nicht einzeln betrachten, da ich nix über die Konvergenz der beiden Summanden weiss, oder?

Würde mich freuen, wenn jemand helfen kann.
Grüße
ChopSuey

        
Bezug
lim sup & lim inf, allg. Frage: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:59 Di 22.12.2009
Autor: fred97

Tipp:

                [mm] $\wurzel[n]{n} \to [/mm] 1$ für $n [mm] \to \infty$ [/mm]

und

                 [mm] $\frac{1}{\wurzel[n]{n!}} \to [/mm] 0 $  für $n [mm] \to \infty$ [/mm]


FRED

Bezug
                
Bezug
lim sup & lim inf, allg. Frage: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Di 22.12.2009
Autor: ChopSuey

Hallo Fred,

danke für die schnelle Antwort.
Dann klappt das mit den einzelnen Summanden ja doch.

Viele Grüße
ChopSuey

Bezug
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