lim n-> oo für Wurzeln < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen [mm] (x_{n}), [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
[mm] x_{n} [/mm] = [mm] \wurzel{n+1} [/mm] - [mm] \wurzel{n} [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
hi,
also ich hab das ganze erstmal mit [mm] \wurzel{n+1} [/mm] + [mm] \wurzel{n} [/mm] erweitert (3. Bin Formel etc...), so dass da jetzt steht
[mm] \bruch {1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}
[/mm]
Dass das beides gegen unendlich geht und somit der Gesamtlimes gegen 0 ist MIR klar... das problem ist dass unser Tutor meinte wir dürften nicht einfach voraussetzen, dass [mm] \wurzel{n} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] geht...
Meine Frage also: Wie soll ich das beweisen ?? ^^
ich hab viel rumprobiert... bin aber auf keinen gescheiten Ansatz gekommen leider..
|
|
| |
|
> Untersuchen Sie die Folgen [mm](x_{n}),[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1 auf Konvergenz
> und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert:
>
> [mm]x_{n}[/mm] = [mm]\wurzel{n+1}[/mm] - [mm]\wurzel{n}[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> hi,
Hey!
> also ich hab das ganze erstmal mit [mm]\wurzel{n+1}[/mm] +
> [mm]\wurzel{n}[/mm] erweitert (3. Bin Formel etc...), so dass da
> jetzt steht
>
> [mm]\bruch {1}{\wurzel{n+1} + \wurzel{n}}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dass das beides gegen unendlich geht und somit der
> Gesamtlimes gegen 0 ist MIR klar... das problem ist dass
> unser Tutor meinte wir dürften nicht einfach voraussetzen,
> dass [mm]\wurzel{n}[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm] gegen [mm]\infty[/mm] geht...
>
Dazu musst du zeigen, dass es für alle C [mm] \in\IR^+ [/mm] (C=const.) ein N gibt, sodass [mm] \wurzel{n}\ge [/mm] K für alle n [mm] \ge [/mm] N.
Zuerst musst du eine sogenannte "schmierblatt-rechnung" machen:
[mm] \wurzel{n} \ge [/mm] C
[mm] \gdw [/mm] n [mm] \ge C^2 [/mm] :=N
Also jetzt zum eigentlichen Beweis:
Sei C beliebig vorgegeben, dann gilt für alle n [mm] \ge N:=C^2 [/mm]
.....
Alternativ kannst du natürlich auch zeigen, dass [mm] \frac{1}{\wurzel{n}} \to [/mm] 0. Falls dir die Beweistechnik mit dem eps vertrauter ist.
> Meine Frage also: Wie soll ich das beweisen ?? ^^
> ich hab viel rumprobiert... bin aber auf keinen gescheiten
> Ansatz gekommen leider..
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
hi,
erstmal danke für die schnelle antwort.
ja sowas in der art hatte ich mir schon gedacht, doch leider bin ich noch nicht so recht bewandert was diese ganzen beweise angeht (1. semester, 3. woche *g)
ich habs jetzt mal folgendermaßen gemacht und wollte fragen ob das dann auch so korrekt ist:
Zu zeigen ist, dass die Wurzelfunktion stetig ist, also dass
[mm] \forall [/mm] c [mm] \in \IR^{+} \exists [/mm] N [mm] \in \IN [/mm] : [mm] \wurzel{n} [/mm] > c [mm] \forall [/mm] n > N
Sei c beliebig, dann gilt für alle n > N := c² :
n > N
[mm] \gdw [/mm] n > c²
[mm] \gdw \wurzel{n} [/mm] > c
reicht das aus ? ist das so korrekt ? oder was muss ich noch zeigen ?
vielen dank im voraus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:32 Fr 21.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Zu zeigen ist, dass die Wurzelfunktion stetig ist, also
Nein, das willst du hier nicht zeigen und tust es auch nicht.
du willst zeigen dass die Wurzelfunktion nach oben unbeschraenkt ist.
> dass
> [mm]\forall[/mm] c [mm]\in \IR^{+} \exists[/mm] N [mm]\in \IN[/mm] : [mm]\wurzel{n}[/mm] > c
das heisst eben nicht beschraenkt!
> [mm]\forall[/mm] n > N
>
> Sei c beliebig, dann gilt für alle n > N := c² :
>
> n > N
> [mm]\gdw[/mm] n > c²
> [mm]\gdw \wurzel{n}[/mm] > c
>
>
> reicht das aus ? ist das so korrekt ? oder was muss ich
> noch zeigen ?
Und das reicht und ist richtig.
Gruss leduart
|
|
|
|
