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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Mi 03.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo zusammen,
ich stehe gerade in einem kleinen Streit mit einem kommilitonen über folgenden sachverhalt:
Sei [mm] \xi [/mm] (A) = [mm] \summe_{n\in A} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2})^{n}
[/mm]
was passiert nun, wenn ich A = [mm] \emptyset [/mm] setze?
habe ich [mm] \xi (\emptyset) [/mm] = [mm] \summe_{n \in \emptyset} (\bruch{1}{2})^{n} [/mm] = 0 oder = [mm] \emptyset?
[/mm]
meiner ansicht nach mach [mm] \emptyset [/mm] keinen sinn, aber Wikipedia sagt:
Sei I eine (Index-)Menge, A ein kommutatives Monoid. Für jedes i [mm] \in [/mm] I sei ein [mm] a_{i} \in [/mm] A gegeben. Dann kann [mm] \summe_{i \in I}a_{i} \in [/mm] A zumindest für endliche Indexmengen durch Rekursion definiert werden: Man setzt
[mm] \summe_{i\in \emptyset}:= [/mm] 0 [mm] \in [/mm] A
und:
Nur die leere Menge hat Kardinalität 0, somit folgt:
[mm] 0^{0}=|\{f:\emptyset \to \emptyset \}| [/mm] = 1
Es gibt genau eine Möglichkeit, nichts auf nichts abzubilden. Andererseits gilt für jedes n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \not= [/mm] 0
[mm] 0^{n}=|\{f: n \to \emptyset \}| [/mm] = 0 denn es gibt tatsächlich keine entsprechende Funktion.
So...nun stehen wir beide völlig aufm Schlauch...
was sagen die qualifizierteren Köpfe ?
Liebe Grüße
cmueller
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Huhu,
offensichtlich ist [mm] $\xi$ [/mm] eine Abbildung von [mm] $\mathcal{P}(\IN)$ [/mm] nach $[0,1]$ (sofern $0 [mm] \not\in \IN$, [/mm] nach [0,2] falls [mm] $0\in\IN$).
[/mm]
Da macht die Zuordnung [mm] $\xi(\emptyset) [/mm] = [mm] \emptyset$ [/mm] gar keinen Sinn, da [mm] $\emptyset\not\in [/mm] [0,1]$.
Sinn macht die Zuordnung nur, wenn [mm] $\xi(\emptyset) [/mm] = 0$
Im Übrigen ist das so sogar eine surjektive Abbildung auf [0,1]
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:48 Mi 03.11.2010 | | Autor: | cmueller |
> Huhu,
>
> offensichtlich ist [mm]\xi[/mm] eine Abbildung von [mm]\mathcal{P}(\IN)[/mm]
> nach [mm][0,1][/mm] (sofern [mm]0 \not\in \IN[/mm], nach [0,2] falls
> [mm]0\in\IN[/mm]).
Sorry hätte ich dabei schreiben sollen [mm] \xi [/mm] ist eine Abbildung:
[mm] \xi [/mm] : [mm] \mathcal{P}(\IN) \to [/mm] [0, [mm] \infty]
[/mm]
Es geht darum, zu zeigen, ob [mm] \xi [/mm] ein Maß für [mm] (\IN, \mathcal{P}(\IN)) [/mm] ist
Daher nach wie vor meine Frage...
oder ändert sich trotzdem nix? weil in [mm] [0,\infty] [/mm] ja [mm] \emptyset [/mm] auch nich drin ist?
> Da macht die Zuordnung [mm]\xi(\emptyset) = \emptyset[/mm] gar
> keinen Sinn, da [mm]\emptyset\not\in [0,1][/mm].
>
> Sinn macht die Zuordnung nur, wenn [mm]\xi(\emptyset) = 0[/mm]
>
> Im Übrigen ist das so sogar eine surjektive Abbildung auf
> [0,1]
>
> MFG,
> Gono.
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Huhu,
es gilt ja $[0,2] [mm] \subset [0,\infty]$.
[/mm]
Bildes [mm] \xi [/mm] nach [0,2] so doch offensichtlich auch nach [mm] [0,\infty]
[/mm]
D.h. es bleibt bei [mm] $f(\emptyset) [/mm] = 0$
Die restlichen Maßeigenschaften musst du schon selbst nachprüfen 
MFG,
Gono.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:22 Do 04.11.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist üblich zu definieren:
[mm] $\summe_{k \in \emptyset}^{}a_k:= [/mm] 0$
Damit ist Dein obiges [mm] \xi [/mm] ein tadelloses Maß auf der Potenzmenge von [mm] \IN [/mm] ( [mm] \xi [/mm] heißt Zählmaß), denn
[mm] \xi(\emptyset)=0
[/mm]
Die [mm] \sigma [/mm] - Additivität von [mm] \xi [/mm] mußt Du noch zeigen.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:04 Do 04.11.2010 | | Autor: | cmueller |
Hallo,
ja vielen Dank, die restlichen Eigenschaften waren auch nciht das Problem, nur kam es mir so komisch vor dass eine Zahl hoch die leere Menge überhaupt möglich ist ;)
Danke euch, ich bin überzeugt
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