least squares Lsg. von Ax=0 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo
Ich suche zu einem überbestimmten linearen homogenen Gleichungssystem Ax=0 die least squares-Lösung [mm] x_{i}\not=0. [/mm] A besteht aus fehlerbehafteten Messgrößen und die [mm] x_{i} [/mm] müssen alle > 0 sein (haben eine physikalische Bedeutung).
Wenn ich das Gleichungssystem so mit einer linearen Regression löse, erhalte ich natürlich [mm] x_{i} [/mm] = 0. Wie komme ich an die Lösung [mm] x_{i} \not=0?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:32 Mo 08.09.2008 | | Autor: | pelzig |
Was hälst du von ner ![[]](/images/popup.gif) QR-Zerlegung? Wie groß ist überhaupt das LGS und wie groß sind die Fehler?
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Ich benutze für Regressionen normalerweise eine QR-Zerlegung. Aber ein homogenes System Ax=0 hat immer die Lösung x=0 als Minimallösung. Ich suche aber die Lösung mit x > 0.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:31 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei so einem System gibt es im Sinne einer genauen Lösung keine Lösung oder unendlich viele, Du kannst Dir aber erlauben, einen Lösungsvektor zu finden, der (fast) orthogonal zu Deinen Koeffizienten steht. Exakt wird das nicht lösbar sein, aber das erinnerte mich an meine Diplomarbeit, in der ich ein ähnliches Problem bei der Netzwerkoptimierung zu lösen hatte. Wenn ich mich recht erinnere, so half in diesem Falle die Householdertransformation weiter. Das Ganze war damals für mich nur ein Aufruf einer IMSL-Bibliothek (alles noch in Fortran 77 geschrieben), aber ich glaube, dass Dir diese Transformation weiter helfen kann. Gehe doch mal auf die Suche nach der Nutzung der Householdertransformation bei überbestimmten Gleichungssystemen.
Ich hoffe, es hilft.
Toi, toi, roi,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:46 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Infinit |
Hallo,
bei einem überbestimmten Gleichungssystem kannst Du die Summe der Abweichungen zwischen einer Musterfunktion und den Messwerten minimieren. Einige Matheprogramme machen dies sogar automatisch, wenn man ein Gleichungssystem eingibt, das mehr Zeilen als Unbekannte enthält. Hier habe ich eine recht schöne Becshreibung gefunden.
Viele Grüße,
Infinit
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Ich möchte ja die Koeffizienten der Modellfunktion minimieren. Bei einem Gleichungssystem Ax=y wie in Deinem Beispiel würde das ja gehen, meins lautet aber Ax=0 und deshalb ist die minimale Lösung x=0. Ich weiß aber, dass es eine weitere Lösung gibt, bei der alle x > 0 sind.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Mo 08.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
> meins lautet aber Ax=0 und
> deshalb ist die minimale Lösung x=0. Ich weiß aber, dass es
> eine weitere Lösung gibt, bei der alle x > 0 sind.
Dann kannst du deine Lösung aber beliebig klein machen. Wenn [mm] x_0 [/mm] so ein gesuchtes x ist, bei dem alle Komponenten [mm] \not= [/mm] 0 sind, dann ist [mm] \frac{1}{2}x_0 [/mm] auch so ein x, aber mit nur halb so großer Norm.
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> Ich möchte ja die Koeffizienten der Modellfunktion
> minimieren. Bei einem Gleichungssystem Ax=y wie in Deinem
> Beispiel würde das ja gehen, meins lautet aber Ax=0 und
> deshalb ist die minimale Lösung x=0. Ich weiß aber, dass es
> eine weitere Lösung gibt, bei der alle x > 0 sind.
Eine least-squares Approximation einer Lösung von $Ax=y$, wenn $y$ im Bildraum von $A$ liegt und es somit eine exakte (statt bloss least-squares approximative) Lösung gibt, macht meiner unmassgeblichen Meinung nach überhaupt keinen Sinn.
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