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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mo 17.07.2006 | | Autor: | rainer9 |
| Aufgabe | | Finde die least squares Lösung für x + 2y = 2 |
Ich kenne least squares normalerweise nur für Probleme der Form [mm] min_{x} [/mm] Ax = b, wobei A eine Matrix ist. Das Problem muß eigentlich leicht sein, da es ja nur eine lineare Gleichung ist (und offensichtlich mit unendlich vielen Lösungen, x = 0 und y=1 z.B.). Ich verstehe aber nicht, was hier genau gemeint ist bzw. welchen Ansatz man braucht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Finde die least squares Lösung für x + 2y = 2
> Ich keine least squares normalerweise nur für Probleme der
> Form [mm]min_{x}[/mm] Ax = b, wobei A eine Matrix ist. Das Problem
> muß eigentlich leicht sein, da es ja nur eine lineare
> Gleichung ist (und offensichtlich mit unendlich vielen
> Lösungen, x = 0 und y=1 z.B.). Ich verstehe aber nicht, was
> hier genau gemeint ist bzw. welchen Ansatz man braucht.
Du solltest erstmal schreiben, was eine `least squares'-Loesung ueberhaupt sein soll. Ist damit gemeint, dass du eine Loesung $(x, y)$ finden sollst so, dass [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] minimal ist?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:07 Mo 17.07.2006 | | Autor: | rainer9 |
Es steht leider nichts weiteres in der Aufgabenstellung.
Wir hatten an anderer Stelle nur die Angabe: "Die least square Lösung für ein lineares System Ax = b ist der kürzeste Vektor x, der [mm] min_{x} [/mm] ||Ax -b|| erfüllt"
Als nächste Aufgabe ist noch angegeben:
Finde die least square lösung für [mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 1 & 2 } [/mm] x = [mm] \vektor{2 \\ 0}
[/mm]
Auch hier gibt es keine weiter Angaben, aber es paßt zumindest zu der Form in der Vorlesung und hilft vielleicht aufzuklären, was gemeint ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:21 Mo 17.07.2006 | | Autor: | rainer9 |
Es ist wohl richtig, daß x² + y² minimal sein muß, denn wenn es um den kürzesten Vektor geht (und (x, y) als der Lösungsvektor gilt), dann ist die Länge des Vektors ja gerade |(x,y)| = sqrt(x²+y²).
Aber wie geht es jetzt weiter?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Finde die least squares Lösung für x + 2y = 2
> Ich kenne least squares normalerweise nur für Probleme der
> Form [mm]min_{x}[/mm] Ax = b, wobei A eine Matrix ist. Das Problem
> muß eigentlich leicht sein, da es ja nur eine lineare
> Gleichung ist (und offensichtlich mit unendlich vielen
> Lösungen, x = 0 und y=1 z.B.). Ich verstehe aber nicht, was
> hier genau gemeint ist bzw. welchen Ansatz man braucht.
Du willst also $x + 2 y = 2$ so loesen, dass [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] minimal ist. Anders geschrieben: Du willst [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] minimieren unter der Nebenbedingung $x + 2 y = 2$.
Die Nebenbedingung umgeformt ergibt $x = 2 (1 - y)$; einsetzen in [mm] $x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] ergibt $4 (1 - [mm] y)^2 [/mm] + [mm] y^2$. [/mm] Das ist ein quadratischer Ausdruck in $y$, den du mit ganz gewoehnlichen Methoden (sprich: Kurvendiskussion) minimieren kannst...
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Mo 17.07.2006 | | Autor: | rainer9 |
danke, damit ist die erste aufgabe wohl geklärt. Wenn ich es bei der 2. mit der Matrix genau so mache, erhalte ich aber zwei widersprüchliche Nebenbedingungen:
1. [mm] x_{1}+2x_{1} [/mm] = 2
2. [mm] x_{1}+2x_{1} [/mm] = 0
Jetzt kann ich wohl nicht mehr einfachen einsetzen. Oder sollte ich einfach für beide Gleichungen das Ergebnis berechnen und dann als Näherung mitteln (oder das Minimum wählen)?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 18.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Rainer!
> danke, damit ist die erste aufgabe wohl geklärt. Wenn ich
> es bei der 2. mit der Matrix genau so mache, erhalte ich
Du darfst es nicht genauso machen, da hier das Gleichungssystem nicht loesbar ist! Das hast du ja selber schon gesehen:
> aber zwei widersprüchliche Nebenbedingungen:
> 1. [mm]x_{1}+2x_{1}[/mm] = 2
> 2. [mm]x_{1}+2x_{1}[/mm] = 0
Hier musst du also erstmal $||A x - b||$ moeglichst klein waehlen, und dann das (normmaessig) kleinste solche $x$ waehlen, fuer welches $||A x - b||$ minimal ist.
Was du also machen musst: Du schaust dir erstmal an, wann der Vektor [mm] $(x_1 [/mm] + 2 [mm] x_2 [/mm] - 2, [mm] x_1 [/mm] + 2 [mm] x_1)$ [/mm] minimal wird. Die Menge aller $x$, fuer die dies minimal ist (also von minimaler Laenge ist), bezeichne mit $M$. Dann suchst du das $x [mm] \in [/mm] M$ so, dass $x$ minimal ist.
Es gibt uebrigens auch eine Moeglichkeit, dies mit linearer Algebra zu loesen (indem man passende Orthogonalraeume anschaut). Wenn ihr das nicht hattet, solltest du das ``von Hand'' (wie gerade beschrieben) machen...
LG Felix
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