lange Hochkette < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mo 21.03.2005 | | Autor: | karter |
erstmal Hallo,
Hiermit begrüße ich erstmal alle Sitebeteiligten 
Ich hab ein kleines Problem, dass mir mein Mathelehrer gestellt hat. Und ich habe ca. 2 Stunden daran rumprobiert es aber nicht getcheckt. Also helft mir bitte:
Die Summe der Folge:
1³ + 2³ + 3³ + ....... + n³
ergibt eine 21-stellige Zahl.
Von dieser Summe sind allerdings nur die ersten drei und die letzten drei Stellen bekannt.
Sie sieht folgendermaßen aus: 310 ..............321 (insgesamt 21 Ziffern)
und kennt ihr die Lösung und könnt ihr mir helfen?
Das wäre doch praktisch 1+8+27usw.
Hoffe auf schnelle Hilfe!!
Mfg karter oder Julius Lang
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Mo 21.03.2005 | | Autor: | Peter_Pein |
Hallo karter,
als ich ![[]](/images/popup.gif) diese Knobelei in Angriff nahm, habe ich zuerst einen geschlossenen Ausdruck für [mm] $\summe_{k=1}^{n}{k^{3}}=\bruch{1}{\mbox{?}}n^{2}(n+1)^{2}$ [/mm] ermittelt. Ich muß zu meiner Schande gestehen, dass ich den Compi den Rest habe erledigen lassen. Es kam für n eine sechstellige Zahl [mm] $(1\Box \Box \Box \Box [/mm] 6)$ heraus.
Ist zwar keine große Hilfe, aber für das Fragezeichen bekommst Du den Wert durch Probieren schnell heraus. Vieleicht machst Du dir ja die Mühe, aus den Schlussziffern auf die letzten Ziffern von n zu schließen (ich war zu faul dafür).
Viel Spass noch beim Knobeln,
Peter
P.S.: richtig frustrierend war, dass der Compi nur 0.2 Sekunden brauchte.
|
|
|
| |
|
Hallo Julius
Die Aufgabe ist für 7. Klasse extrem schwer!!! Ich werd dir mal ein paar Denkanstöße dazu aufschreiben:
Da $Z=310.............321$ gilt offenbar auch
[mm] $M'=310999999999999999321\ge Z\ge [/mm] 310000000000000000321=M$
Ein Blick in die Formelsammlung verrät dir ferner:
[mm]1^3+2^3+...+n^3=\frac{1}{4}(n+1)^2n^2=\left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2(=Z)[/mm]
Interessanter Weise gilt [mm] also:$(1+2+...+n)^2=1^3+2^3+...+n^3$ [/mm] (hat mit deinem Problem nichts zu tun - könnte dir aber helfen falls du die obige Formel für die Summe der Kuben herleiten willst )
Als nächstes löse ich mal die beiden Gleichungen M=Z(i) und M'=Z(ii):
i) [mm] $n^2+n-2M=0 \gdw n=-0,5\pm \wurzel{2M+0,25}$. [/mm] mit n>0 erhällt man: n=187652,46.....
[mm] ii)$n=\wurzel{2M'+0,25}-0,5=187803,61...$
[/mm]
Hierraus kann man nun folgern:
[mm] $187653\le [/mm] n [mm] \le [/mm] 187803$
Alle möglichen n durchzuprobiern würde allerdings immernoch zu lange dauern. Du hast allerdings noch einige Informationen gegeben:
Das Quadrat von [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] endet auf 321
--> es reicht wenn du dir überlegst welche Quadrate von 3 stelligen Zahlen enden auf 321 (Denn auch wenn eine Zahl mehr als drei Stellen hat, so bestimmen trotzdem nur die letzen drei Stellen über die letzten drei Stellen des Quadrates...)
ich glaub umständlicher hätte ich das jetzt nicht mehr formulieren können
...
...
..
Den Rest überlass ich dir.
Ich bin ziehmlich unsicher ob du das verstehts was ich geschrieben hab
Wenn du Fragen dazu hast meld dich einfach. (Ich hätt das in der 7. wohl kaum verstanden!!!)
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe eine Lösung mit Hilfe zahlentheoretischer Überlegungen gefunden:
Zunächst habe ich diejenigen Quadratzahlen bestimmt, die bei Division duch 1000 den Rest 321 lassen.
Es sind dies 111, 611, 361, 861, 139, 639, 389, 889.
Betrachte man das Doppelte dieser Zahlen modulo 10, so kommt man zu dem Schlusse, das die Zahl nur die Gleichung [mm]n\;\left( {n\; + \;1} \right)\; \equiv \;2\;(10)[/mm] Lösungen hat. Demzufolge muß n auf 1,3,6 oder 8 enden.
Treibt man das Spielchen weiter und betrachtet [mm]
n\;\left( {n\; + \;1} \right)\; \equiv \;22\;(100)[/mm]. Dann wird das nur erfüllt, wenn n auf 33, 41, 58 oder 66 endet.
Da der Bereich schon eingegrenzt wurde, kommen nur folgende Zahlen in Frage:
33: 187733
41: 187741
58: 187658, 187758
66: 187666, 187766
Von diesen Zahlen erfüllt nur die Zahl n=187666 die Bedingungen.
[mm]\left( {\frac{{187666\; \times \;187667}}
{2}} \right)^2 \; = \;{\text{310089475472083627321}}[/mm]
Gruß
MathePower
|
|
|
|
