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lagebeziehungen von geraden: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:26 Di 08.03.2005
Autor: teksen

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Gegeben sind die Geraden

g: x = [mm] \vektor{2 \\ 7 \\ -6 \\} [/mm] + r * [mm] \vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\} [/mm] und h: x = [mm] \vektor{2 \\ -3 \\ 7 \\} [/mm] + s * [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\}. [/mm]

Untersuchen Sie die Lagebeziehung von g und h und berechnen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt oder Abstand.

Also ich weiss da nich mehr alles. wenn die Richtungsvektoren kollinear sind sind die Geraden ja parallel oder identisch - allerdings weiss ich auch nich mehr wie man feststellt ob sie parallel oder identisch sind -.-

Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear schneiden die Geraden sich oder sind windschief - ist ja hier auf jeden Fall so. Weiss aber auch leidernich mehr was man dann macht - Hoffe mir kann da jemand helfen.
        
Bezug
lagebeziehungen von geraden: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 Di 08.03.2005
Autor: Stefan

Hallo teksen!

> Gegeben sind die Geraden
>  
> g: x = [mm]\vektor{2 \\ 7 \\ -6 \\}[/mm] + r * [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\}[/mm]
> und h: x = [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 7 \\}[/mm] + s * [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\}. [/mm]
>  
>
> Untersuchen Sie die Lagebeziehung von g und h und berechnen
> Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt oder Abstand.
>  
> Also ich weiss da nich mehr alles. wenn die
> Richtungsvektoren kollinear sind sind die Geraden ja
> parallel oder identisch -

[ok]

>  allerdings weiss ich auch nich
> mehr wie man feststellt ob sie parallel oder identisch sind

Schau doch einfach, ob der Stützvektor der einen Gerade die andere Geradengleichung erfüllt. Äquivalent dazu ist, dass die Differenz der beiden Stützvektoren ein Vielfaches eines (und damit beider) Richtungsvektoren ist.


> Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear schneiden die
> Geraden sich oder sind windschief - ist ja hier auf jeden
> Fall so.

[ok]

Weiss aber auch leidernich mehr was man dann macht
> - Hoffe mir kann da jemand helfen.

>
Schau doch einmal mal durch Gleichsetzen, ob die beiden Geraden einen Schnittpunkt besitzen. Äquivalent dazu ist, dass die Differenz der beiden Stützvektoren eine Linearkombination der beiden Richtungsvektoren sind.

Ist dies nicht der Fall (d.h. habe die beiden Geraden keinen Schnittpunkt), so sind sie windschief.

Wenn du wissen willst, wie man dann Abstände der beiden windschiefen Geraden (oder aber zweier paralleler Geraden) berechnet, kannst du das sehr schön []hier nachlesen.

Liebe Grüße
Stefan
Bezug
        
Bezug
lagebeziehungen von geraden: weitere Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 Mi 09.03.2005
Autor: Zwerglein

Hi, teksen,

> Gegeben sind die Geraden
>  
> g: x = [mm]\vektor{2 \\ 7 \\ -6 \\}[/mm] + r * [mm]\vektor{2 \\ 3 \\ 0 \\}[/mm]
> und h: x = [mm]\vektor{2 \\ -3 \\ 7 \\}[/mm] + s * [mm]\vektor{2 \\ 0 \\ -1 \\}. [/mm]
>  
>
> Untersuchen Sie die Lagebeziehung von g und h und berechnen
> Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt oder Abstand.
>  
> Also ich weiss da nich mehr alles. wenn die
> Richtungsvektoren kollinear sind sind die Geraden ja
> parallel oder identisch - allerdings weiss ich auch nich
> mehr wie man feststellt ob sie parallel oder identisch sind

Also zunächst mal ist "identisch" nur ein Sonderfall von "parallel".
Sind Geraden parallel, aber nicht identisch, nennt man das "echt parallel".

Hast Du also festgestellt, dass die Geraden parallel sind und möchtest nun wissen, ob sie sogar identisch sind, kannst Du so vergehen, wie Stefan Dir das vorgeschlagen hat, oder Du bildest den Vektor zwischen den beiden Aufpunkten der Geraden und schaust, ob dieser mit einem Richtungsvektor kollinear ist. Wenn ja: identisch. Wenn nein: echt parallel.

>  
> Sind die Richtungsvektoren nicht kollinear schneiden die
> Geraden sich oder sind windschief - ist ja hier auf jeden
> Fall so. Weiss aber auch leidernich mehr was man dann macht
> - Hoffe mir kann da jemand helfen.
>  

Nun: Jetzt wär's gut, wenn Du die DETERMINANTE kennen würdest. Dann wäre Deine Vorgehensweise folgende:
Die Determinante aus den beiden Richtungsvektoren und dem Verbindungsvektor der Aufpunkte ausrechnen. Wenn =0 rauskommt: Schnittpunkt; wenn nicht 0 rauskommt: windschief!

In Deinem Beispiel: (Parallel sind die Geraden ja offensichtlich nicht!)
[mm] \vmat{2 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -10 \\ 0 & -1 & 13} [/mm] = -98 [mm] \not= [/mm] 0
Daher sind Deine beiden Geraden windschief!

mfG!
Zwerglein
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