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| Aufgabe | Die Fkt. f,g : [mm] \IR ->\IR [/mm] seien gegeben durch
f(x) = x+sin x cos x und g(x) = [mm] f(x)e^{sin x}
[/mm]
Dann gilt [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] g(x) = [mm] \infty [/mm] und
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{2cos x}{f(x)+2cos x} e^{-sin x} [/mm] = 0
Jedoch existiert der Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} \frac{f(x)}{g(x)} [/mm] = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} e^{-sinx} [/mm] nicht! Warum ist dies kein Widerspruch zur regel von de l'Hospital? |
Hi,
dachte zuerst irgendeine Bedingung wäre nicht erfüllt, aber alles passt :
1) f,g sind differenzierbar auf [mm] \IR [/mm]
2) g'(x) = ((1+2cos x -2sin x) + f(x)cos x) [mm] e^{sin x} \not= [/mm] 0 [mm] \forall x\in \IR
[/mm]
[mm] 3)\limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] f(x) = [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] g(x) = [mm] \infty
[/mm]
was passt hier also nicht?
Snafu
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Betrachten wir doch mal $g'(x)$:
$g'(x) = (f'(x) + [mm] f(x)*\cos{x})*e^{\sin{x}} [/mm] = [mm] \cos{x}(\cos{x} [/mm] + [mm] f(x))e^\sin{x}$
[/mm]
Was fällt dir auf?
MFG,
Gono.
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Hi,
dass [mm] g'(\frac{\pi}{4} [/mm] + [mm] \frac{k\pi}{2}) [/mm] = 0 ist wegen cos [mm] \frac{\pi}{4}+ \frac{k\pi}{2} [/mm] = 0 , [mm] k\in\IN?
[/mm]
Snafu
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Aha, und was sagt die Regel von L'Hospital dazu?
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Hi,
das l'Hospital nicht angewand werden darf!
Snafu
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Naja, dass l'Hospital nicht gilt, trifft eher zu 
MFG,
Gono.
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