kurze frage zu einer funktion < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo!
sei K [mm] \in \IR^n [/mm] kompakt und f:K [mm] \times [/mm] K [mm] \rightarrow \IR [/mm] stetig. man definiert folgende funktion
[mm] w:\IR_+ \times [/mm] K [mm] \rightarrow \IR_+
[/mm]
durch w(s,x):=sup{|f(y,x)-f(y',x)| : y,y' [mm] \in [/mm] K mit |y-y'| [mm] \le [/mm] s}
Frage: ist w stetig? wenn nicht, dann zumindest in der 2. Variablen?
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Guten Morgen,
ich würd auf jeden Fall folgendes verwenden: Unter den geg. Voarussetzungen ist f sogar Lipschitz-stetig, d.h.
zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es ein [mm] \delta [/mm] > 0 so dass fuer alle [mm] (x,y),(x',y')\in [/mm] K mit [mm] \parallel (x,y)-(x',y')\parallel <\delta
[/mm]
auch |f(x,y)-f(x',y')| < [mm] \epsilon [/mm] folgt.
Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Kompaktheit von K.
Stetigkeit in der zweiten Komp.: Fixiere s, dann sei [mm] K_s:=\{(y,y')\in K^2|\:\: |y-y'|\leq s\}. K_s [/mm] ist wieder kompakt.
Die Abb.
[mm] F\colon K_s\times K\to\IR, \:\: [/mm] F((y,y'),x)=|f(y,x)-f(y',x)| ist eine stetige Abb. von der kompakten Menge
[mm] K_s\times [/mm] K nach [mm] \IR. [/mm] Daraus folgt relativ direkt, dass f in der zweiten Komp. stetig ist (zu geg. [mm] \epsilon [/mm] finde [mm] \delta [/mm] gemaess der Lipschitz-
Stetigkeit und dann beobachte, dass sich mit den Werten |f(y,x)-f(y',x)| auch das Supremum stetig verhält).
Gruss,
Mathias
> Hallo!
> sei K [mm]\in \IR^n[/mm] kompakt und f:K [mm]\times[/mm] K [mm]\rightarrow \IR[/mm]
> stetig. man definiert folgende funktion
> [mm]w:\IR_+ \times[/mm] K [mm]\rightarrow \IR_+[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> durch
> w(s,x):=sup{|f(y,x)-f(y',x)| : y,y' [mm]\in[/mm] K mit |y-y'| [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> s}
> Frage: ist w stetig? wenn nicht, dann zumindest in der 2.
> Variablen?
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Schönen guten Morgen Mathias,
Eine kleine Meckerei sei mir erlaubt.
> ich würd auf jeden Fall folgendes verwenden: Unter den geg.
> Voarussetzungen ist f sogar Lipschitz-stetig, d.h.
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> zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 gibt es ein [mm]\delta[/mm] > 0 so dass fuer
> alle [mm](x,y),(x',y')\in[/mm] K mit [mm]\parallel (x,y)-(x',y')\parallel <\delta[/mm]
>
> auch |f(x,y)-f(x',y')| < [mm]\epsilon[/mm] folgt.
>
> Diese Eigenschaft ergibt sich direkt aus der Kompaktheit
> von K.
Das war doch glm. stetig.
viele Grüße
Christian ![[kaffeetrinker]](/images/smileys/kaffeetrinker.gif "[kaffeetrinker]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:13 Di 21.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo und guten Morgen Christian,
danke, hast recht ! Also ersetze Lipschitz durch gleichmäßig.
Dank und Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:54 Di 21.03.2006 | | Autor: | calabi-yau |
warum ich die frage gestellt habe: die funktion ist teil eines größeren beweises, den ich geschrieben habe (trafoformel für integral für stetige funktionen mit kompaktem träger). hab da auch vorausgesetzt, dass w stetig ist, aber nicht bewiesen (wegen der länge des ganzen beweises), weil es mir intuitiv klar war. wollte jetzt nur noch sicher gehen, dass die auch wirklich stetig ist. hatte bisher auch keine zeit mir das genauer anzuschauen, deshalb wollte ich hier nur kurz nachfragen. brauch also keinen beweis, sondern nur ne bestätigung ;) wie schauts mit der ersten komponente aus?
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Hallo zusammen,
ich denke, dass, zumindest unter diesen Voraussetzungen, keine Stetigkeit in $s$ vorliegen muss.
Extrembeispiel: K ist nicht zusammenhängend und besteht aus zwei Konvexen Teilmengen, die den Abstand $1$ haben. Die Funktion ist auf beiden Teilmengen konstant, aber mit verschiedenen Werten. Dann hat deine Funktion eine Unstetigkeit in $s$ bei 1.
Ähnlich kann man sich Beispiele für zusammenhängende, aber nicht konvexe Mengen K konstruieren, für die die Funktion nicht stetig ist.
Für konvexe Mengen gilt die Aussage eventuell, habe jetzt aber keine zeit und lust, das nachzurechnen.... 
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Mi 22.03.2006 | | Autor: | calabi-yau |
stimmt, daran hatte ich noch nicht gedacht, aber das macht nichts, wichtig ist mir die stetigkeit in der 2.
thx for replies
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