kurze Frage zu Cayley Hamilton < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Eine kurze Frage zum Beweis von Cayley Hamilton:
Warum kann man denn nicht einfach sagen, dass das charakteristische Polynom der Matrix A an der Stelle A gleich det(A- A E) ist (E Einheitsmatrix) und damit det (0) = 0...?
Wo liegt der Haken dabei?
Bin für jede Antwort dankbar!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Danke schonmal im Voraus, garfield.
|
|
| |
|
Gruß!
Nein, das geht leider nicht. Und zwar aus folgendem Grund:
Das charakteristische Polynom wird ja als
[mm] $\chi_A(X) [/mm] = [mm] \det [/mm] (A - X [mm] \cdot E_n)$
[/mm]
definiert, allerdings ist $X$ hierbei ein Skalar und muss auch als solcher interpretiert werden. Wenn Du Dir die Matrix hinschreibst, musst Du das $X$ einfach von jedem Diagonalelement abziehen und dann die Determinante ausrechnen.
Wenn Du jetzt für das $X$ eine Matrix einsetzen willst, ist diese Interpretation immer noch die einzig richtige: Du musst dann die Matrix von jedem Diagonaleintrag abziehen! Wie das gehen soll? Naja, Du kannst den Körper in den Matrizenring einbetten, indem Du [mm] $\lambda$ [/mm] auf [mm] $\lambda \cdot E_n$ [/mm] schickst.
Was bei Cayley-Hamilton also eigentlich betrachtet wird ist eine gigantische Matrix mit Einträgen, die selbst $n [mm] \times [/mm] n$-Matrizen sind! Fast überall sind es einfach Vielfache der Einheitsmatrix (die ursprünglichen Einträge von $A$ mal Einheitsmatrix), aber auf der Diagonalen wird jeweils das $A$ abgezogen. Die Determinante wird dann über dem Ring gebildet. Da muss man eigentlich vorsichtig sein, wenn der Ring nicht kommutativ ist, wie in diesem Fall, aber zum Glück kommutieren die Einträge dieser speziellen Matrix alle miteinander. 
Ein Beispiel: Setze $A = [mm] \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$.
[/mm]
Dann ist das charakteristische Polynom von $A$ gegeben durch
[mm] $\chi_A(X) [/mm] = [mm] X^2 [/mm] - 5X - 2$ (wenn ich mich nicht verrechnet habe).
Und wenn ich für $X$ das $A$ einsetze, muss ich die Determinante folgender Matrix berechnen:
[mm] $\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} - A&\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix} 3&0\\0&3\end{pmatrix}&\begin{pmatrix}4&0\\0&4\end{pmatrix} - A \end{pmatrix}$
[/mm]
Eine Matrix deren Einträge Matrizen sind. Ihre Determinante ist
[mm] $(E_n [/mm] - A) [mm] \cdot [/mm] (4 [mm] E_n [/mm] - A) - (2 [mm] E_n \cdot [/mm] 3 [mm] E_n)$
[/mm]
Wenn Du das ausrechnest, wird (hoffentlich) [mm] $A^2 [/mm] - 5 A - 2 [mm] E_n$ [/mm] herauskommen und das wird die Nullmatrix sein, wenn Cayley-Hamilton stimmt - aber so einfach wie Du geschrieben hast, geht das leider nicht...
Alles klar?
Lars
|
|
|
| |
|
Super - Danke für die ausführliche Antwort!! Ich glaube, jetzt ist mir alles klar!
|
|
|
|
