kürzester Abstand zweier Gerad < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:13 Do 05.01.2006 | | Autor: | poochy |
Hallo!
Das ist sicherlich eine dumme Frage, aber ich komm einfach nicht weiter. Ich rechne gerade das Abi 2005 (Thüringen) und stecke fest.
Es geht um zwei winschiefe Geraden deren Abstand ich berechnet habe. Nun ist meine sehr blöde Frage: sind nicht die Punkte die ich bei der Berechnung benutzt habe diejenigen der beiden Geraden die voneinander den geringsten Abstand haben?....Denn im weiteren heißt die Aufgabenstellung: bestimmen Sie die Koordinaten der beiden Punkte der Geraden, die den Kürzesten Abstand haben.....hab ich die denn nicht schon?
Bitte um Hilfe ....:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Do 05.01.2006 | | Autor: | Benni_K |
Hallo!
Also um diese Aufgaben lösen zu können, muss man sich natürlich erst einmal im Klaren sein, was gefragt ist. Den Abstand zweier Geraden bekommt man, indem man eine Gerade findet, die auf beiden Geraden senkrecht steht. Damit sind also zwei Lotfußpunkte der allgemeinen Geradenpunkte verbunden. Der Abstand dieser Punkte ist im Allgemeinen der kürzeste Abstand zweier Punkte auf den Geraden und ist somit auch als Abstand zweier windschiefen Geraden definiert.
Somit hast du diesen Aufgabenteil bereits durch die Berechnung des Abstandes der beiden windschiefen Geraden gelöst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 Do 05.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Guten Abend.
Was wären denn die Punkte bei den Geraden
g: [mm] \vec{x} =\vektor{6 \\ 1 \\ -4}+ [/mm] r [mm] \vektor{4 \\ 1 \\ -6}
[/mm]
h: [mm] \vec{x} =\vektor{4 \\ 0 \\ 3}+ [/mm] r [mm] \vektor{0 \\ -1 \\ 3}
[/mm]
Den Abstand berechne ich nämlich so:
[mm] \vec{n}_{0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{13} \vektor{3 \\ 12 \\ 4}
[/mm]
[mm] d=|[\vektor{4 \\ 0 \\ 3}-\vektor{6 \\ 1 \\ -4}]*\bruch{1}{13} \vektor{3 \\ 12 \\ 4}|
[/mm]
d= [mm] \bruch{10}{13}
[/mm]
Der senkrechte Vektor ist übrigens:
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 12 \\ 4}
[/mm]
Wie wende ich das nun auf die Gerade an? Wie bestimme ich den Punkt?
Grüße Phoney!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:00 Do 05.01.2006 | | Autor: | Lolli |
> Guten Abend.
> Was wären denn die Punkte bei den Geraden
>
> g: [mm]\vec{x} =\vektor{6 \\ 1 \\ -4}+[/mm] r [mm]\vektor{4 \\ 1 \\ -6}[/mm]
>
> h: [mm]\vec{x} =\vektor{4 \\ 0 \\ 3}+[/mm] r [mm]\vektor{0 \\ -1 \\ 3}[/mm]
>
> Den Abstand berechne ich nämlich so:
>
> [mm]\vec{n}_{0}[/mm] = [mm]\bruch{1}{13} \vektor{3 \\ 12 \\ 4}[/mm]
>
> [mm]d=|[\vektor{4 \\ 0 \\ 3}-\vektor{6 \\ 1 \\ -4}]*\bruch{1}{13} \vektor{3 \\ 12 \\ 4}|[/mm]
>
> d= [mm]\bruch{10}{13}[/mm]
>
> Der senkrechte Vektor ist übrigens:
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 12 \\ 4}[/mm]
>
> Wie wende ich das nun auf die Gerade an? Wie bestimme ich
> den Punkt?
>
> Grüße Phoney!
Wir bei uns inner Schule rechenen die Punkte über den Differenzvektor der beiden allgemeinen Punkte der beiden Geraden aus, d.h du bestimmst dir ersteinmal die beiden allgemeinen Punkte für die Geraden.
z.B nennst du den einenPunkt P (von Gerade g) und den anderen Q (von Gerade h).
--> P( 6 + 4r | 1 + r | -4 - 6r )
--> Q( 4 | -s | 3 + 3s ) (Achtung: Umbenennung des Parameters erforderlich, weil in beiden Geraden r verwendet wurde)
-jetzt bildeste den Differenzvektor [mm] \overrightarrow{PQ}
[/mm]
-für diesen Vektor gilt, dass er senkrecht zum Richtungsvektor der geraden g und senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden h ist. Somit hast du 2 Gleichungen mit den beiden Variablen r und s. Dieses Gleichungssystem kannst du dann eindeutig lösen und führt auf die gesuchten Punkte., die den kürzesten Abstand der beiden Geraden g und h beschreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Do 05.01.2006 | | Autor: | poochy |
Danke für deine Antwort.
DAmit konnte ich die Aufgabe lösen, obwol ich nicht verstanden hab warum man so einfach den Differenzvektor bilden kann und der dann senkrecht auf den Richtungsvektoren steht....hmmm?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Fr 06.01.2006 | | Autor: | Phoney |
Hallo Lolli. Danke für die Antwort, trotzdem so ganz habe ich den Dreh leider noch nicht heraus
> > Der senkrechte Vektor ist übrigens:
> > [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 12 \\ 4}[/mm]
> z.B nennst du den einenPunkt P (von Gerade g) und den
> anderen Q (von Gerade h).
> --> P( 6 + 4r | 1 + r | -4 - 6r )
> --> Q( 4 | -s | 3 + 3s ) (Achtung: Umbenennung des
> Parameters erforderlich, weil in beiden Geraden r verwendet
> wurde)
>
> -jetzt bildeste den Differenzvektor [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm]
Der wäre jetzt wohl [mm] \vektor{4-(6 + 4r) \\ -s-(1 + r )\\3 + 3s-(-4 - 6r)}
[/mm]
vereinfacht
[mm] \vektor{-2 - 4r \\ -s-1- r \\7 + 3s + 6r}
[/mm]
Jetzt habe ich einen Vektor, und wie weiter?
Mache ich daraus das Gleichungssystem:
-2 - 4r+(-s-1- r )+(7 + 3s + 6r)
oder wie?
Und setze ich das dann noch gleich Null?
> -für diesen Vektor gilt, dass er senkrecht zum
> Richtungsvektor der geraden g und senkrecht zum
> Richtungsvektor der Geraden h ist. Somit hast du 2
Und was mache ich hiermit? Der von mir oben oder auch vorher berechnete n-Vektor ist nicht zu gebrauchen?
D.h. [mm] \vektor{-2 - 4r \\ -s-1- r \\7 + 3s + 6r} [/mm] * Richtungsvektor = 0
> Gleichungen mit den beiden Variablen r und s. Dieses
> Gleichungssystem kannst du dann eindeutig lösen und führt
> auf die gesuchten Punkte., die den kürzesten Abstand der
> beiden Geraden g und h beschreiben.
Wenn ich es erst einmal hätte, könnte ich es auch lösen.
Also vielen dank für eine Aufklärung
Grüße Phoney!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Fr 06.01.2006 | | Autor: | moudi |
> Hallo Lolli. Danke für die Antwort, trotzdem so ganz habe
> ich den Dreh leider noch nicht heraus
>
> > > Der senkrechte Vektor ist übrigens:
> > > [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\vektor{3 \\ 12 \\ 4}[/mm]
>
> > z.B nennst du den einenPunkt P (von Gerade g) und den
> > anderen Q (von Gerade h).
> > --> P( 6 + 4r | 1 + r | -4 - 6r )
> > --> Q( 4 | -s | 3 + 3s ) (Achtung: Umbenennung
> des
> > Parameters erforderlich, weil in beiden Geraden r verwendet
> > wurde)
> >
> > -jetzt bildeste den Differenzvektor [mm]\overrightarrow{PQ}[/mm]
>
> Der wäre jetzt wohl [mm]\vektor{4-(6 + 4r) \\ -s-(1 + r )\\3 + 3s-(-4 - 6r)}[/mm]
>
> vereinfacht
> [mm]\vektor{-2 - 4r \\ -s-1- r \\7 + 3s + 6r}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Jetzt habe ich einen Vektor, und wie weiter?
> Mache ich daraus das Gleichungssystem:
> -2 - 4r+(-s-1- r )+(7 + 3s + 6r)
>
> oder wie?
> Und setze ich das dann noch gleich Null?
Das Skalarprodukt dieses Vektors mit den beiden Richtungsvektoren der Geraden muss 0 sein.
d.h.
[mm] $\vektor{-2 - 4r \\ -s-1- r \\7 + 3s + 6r}\vektor{4\\1\\-6}=0$ [/mm] und
[mm] $\vektor{-2 - 4r \\ -s-1- r \\7 + 3s + 6r}\vektor{0\\-1\\3}=0$
[/mm]
Wenn du die Lösungen r, s dieses Systems bestimmt hast, kannst du sie einsetzen in Punkte P und Q oben, das sind dann die "naheliegendsten" Punkte der Geraden g und h oder du kannst in [mm] $\overrightarrow{PQ}$ [/mm] einsetzen, dann bekommst du nochmals [mm] $\pm\vec [/mm] n$
mfG Moudi
>
> > -für diesen Vektor gilt, dass er senkrecht zum
> > Richtungsvektor der geraden g und senkrecht zum
> > Richtungsvektor der Geraden h ist. Somit hast du 2
> Und was mache ich hiermit? Der von mir oben oder auch
> vorher berechnete n-Vektor ist nicht zu gebrauchen?
> D.h. [mm]\vektor{-2 - 4r \\ -s-1- r \\7 + 3s + 6r}[/mm] *
> Richtungsvektor = 0
>
> > Gleichungen mit den beiden Variablen r und s. Dieses
> > Gleichungssystem kannst du dann eindeutig lösen und führt
> > auf die gesuchten Punkte., die den kürzesten Abstand der
> > beiden Geraden g und h beschreiben.
>
> Wenn ich es erst einmal hätte, könnte ich es auch lösen.
>
> Also vielen dank für eine Aufklärung
>
> Grüße Phoney!
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