kubische spline funktionen < Steckbriefaufgaben < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:15 Sa 09.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab eine frage und zwar bezüglich einer spline funktion.
Ich soll einen kubischen Spline zu zwei geraden legen. die erste gerade ist
y= x+1 die zweite y=4
die Punkte in denen der Spline ansetzten soll sind P(1/2) und P(3/4)
jetzt hab ich ja wie eigentlich für jeden spline 6 bedingungen
1) 2=a+b+c+d
2) 4=27a+9b+3c+d / die beiden Punkte
3) 1=3a+2b+c
4) 0= 27a+3b+c / die beiden ersten ableitungen
5) 0=6a+2b
6) 0=18a+2b / die beiden zweiten ableitungen
es gibt für das system aber leider keien lösung was hab ich den falsch gemacht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:25 Sa 09.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo noobo!
In Deiner Gleichung (4) steckt ein Fehler. Es gilt: $f'(x) \ = \ [mm] 3a*x^2+\red{2}b*x+c$ [/mm] .
Und damit ist: $f'(3) \ = \ [mm] 3a*3^2+2b*3+c [/mm] \ = \ [mm] 27a+\red{6}b+c [/mm] \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:14 Sa 09.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die antwort. Muss mich vetriptp haben haba uch hier 6 stehen das system lässt sich trotzdem leider nicht lösen ist da ein logischer fehler drin?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo noobo2,
> hallo,
> danke für die antwort. Muss mich vetriptp haben haba uch
> hier 6 stehen das system lässt sich trotzdem leider nicht
> lösen ist da ein logischer fehler drin?
>
Die Gleichung
[mm]27a+6b+c=0[/mm]
ist immer noch nicht die Richtige.
Richtig muß diese Gleichung lauten:
[mm]27a+6b+c=\blue{1}[/mm]
Dann ist auch das System lösbar.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:36 Sa 09.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
weshalb denn die funktion y=4 hat die Steigung 0 und zwar in allen punkten also gleichung4 = 0 stimmt aus meiner sicht
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Hallo noobo2,
> hallo,
> weshalb denn die funktion y=4 hat die Steigung 0 und zwar
> in allen punkten also gleichung4 = 0 stimmt aus meiner
> sicht
Die Gerade [mm]y=x+1[/mm] hat im Punkt [mm]\left(3\left|right)[/mm] die Steigung 1.
Die Gerade [mm]y=4[/mm] hat in diesem Punkt die Steigung 0.
Daher ist die Funktion
[mm]f\left(x\right)=\left\{\begin{matrix}
x+1 & x \in \left[1,3\right]\\
4 & x \ge 3
\end{matrix}\right[/mm]
in x=3 nicht stetig differenzierbar, da links- und rechtsseitige Ableitung nicht übereinstimmen.
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:52 Sa 09.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
danke für die schnelle antwort. Also hat Al-Chwarizmi recht udn ich muss eine funktion 5grades benutzen
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> hallo,
> danke für die schnelle antwort. Also hat Al-Chwarizmi
> recht und ich muss eine Funktion 5. Grades benutzen
na gut, du hast jetzt 2 Möglichkeiten:
1.) kubische Funktion, aber auf die Bedingungen mit der
2. Ableitung verzichten (dies würde ich empfehlen)
2.) Funktion 5. Grades inkl. Bedingungen mit 2. Ableitung
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ihr seid euch offenbar über die Interpretation der
Aufgabenstellung nicht ganz einig...
siehe meinen Beitrag unten !
(schon aus den Gleichongen 5) und 6) von noobo
allein kann man auf a=b=0 schliessen und sieht
damit, dass der Ansatz mit der kubischen
Funktion offenbar nicht genügt, alle 6 Forderungen
- eben auch die mit der stetigen 2. Ableitung -
zu erfüllen)
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> Hallo,
> ich hab eine frage und zwar bezüglich einer spline
> funktion.
> Ich soll einen kubischen Spline zu zwei geraden legen. die
> erste gerade ist
> y= x+1 die zweite y=4
> die Punkte in denen der Spline ansetzten soll sind P(1/2)
> und P(3/4)
> jetzt hab ich ja wie eigentlich für jeden spline 6
> bedingungen
>
> 1) 2=a+b+c+d
> 2) 4=27a+9b+3c+d / die beiden Punkte
> 3) 1=3a+2b+c
> 4) 0= 27a+3b+c / die beiden ersten
> ableitungen
> 5) 0=6a+2b
> 6) 0=18a+2b / die beiden
> zweiten ableitungen
>
> es gibt für das system aber leider keien lösung was hab ich
> den falsch gemacht?
Was hier gesucht sein kann, ist wohl noch gar kein eigentlicher
"Spline", sondern nur ein Teilstück aus einem solchen. Wenn
nur eine kubische Funktion gesucht ist, hast du ja nur
4 freie Parameter, eben die a,b,c und d, die du schon benützt
hast. Damit kann man im Allgemeinen auch nur 4 Gleichungen
erfüllen. Um von den 6 Gleichungen auf 4 runter zu kommen,
müsste man also z.B. die Gleichungen 5) und 6) einfach weg-
lassen.
Die resultierende Aufgabenstellung könnte man so formulieren:
Gegeben ist die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} x+1, & \mbox{für } x \le 1 \\ 4, & \mbox{für } x\ge 3 \end{cases}
[/mm]
Ergänze f im Bereich 1<x<3 durch eine kubische Funktion so,
dass die gesamte Funktion durchwegs stetig und ableitbar ist.
Falls man auf die Stetigkeit der 2.Ableitung an den "Nahtstellen"
1 und 3 nicht verzichten möchte, genügt der Ansatz mit dem
kubischen Spline nicht, man müsste statt dessen eine Funktion
5.Grades nehmen.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Sa 09.08.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ja das stimmt schon was du sagst. Wenn man einen kompletten Spline hat geht das aber hier ist nur ein "Übergangsbogen" gesucht. Nochmal als Frage wenn ich jetzt einen "richtigen" Spline hab also auch kubische Splines zuvor und danach anstatt der linearen Gleichungen- würde es dann funktionieren? Denn man hat ja eigentlich für jeden Aeinzelnen "Spline" 6 Bedingungen gegeben 2 Punkte , 2 Ableitungen und 2 zweite Ableitungen. Wie funktioniert das denn da?
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> Hallo,
> ja das stimmt schon was du sagst. Wenn man einen
> kompletten Spline hat geht das aber hier ist nur ein
> "Übergangsbogen" gesucht. Nochmal als Frage wenn ich
> jetzt einen "richtigen" Spline hab also auch kubische
> Splines zuvor und danach anstatt der linearen Gleichungen-
> würde es dann funktionieren? Denn man hat ja eigentlich für
> jeden Aeinzelnen "Spline" 6 Bedingungen gegeben 2 Punkte ,
> 2 Ableitungen und 2 zweite Ableitungen. Wie funktioniert
> das denn da?
Mit jedem einzelnen kubischen Teilstück eines kubischen Splines
kann man grundsätzlich genau 4 Bedingungen (Gleichungen)
erfüllen. Wenn an einer "Nahtstelle" z.B. der Funktionswert
vorgeschrieben ist, führt dies zu 2 Gleichungen, nämlich je
einer für die beiden beteiligten Funktionen. Wird dann noch
verlangt, dass der Spline an dieser Stelle differenzierbar ist,
ergibt dies nur eine Gleichung, nämlich [mm] f'_{links}(x_0)=f'_{rechts}(x_0).
[/mm]
Ist ein kubischer Spline also aus n Teilstücken zusammen-
gesetzt, kann man damit insgesamt genau 4*n vorgegebene
Bedingungen erfüllen. Dabei kann z.B. eine Forderung, die
eigentlich vom ersten Teilintervall herrührt, durchaus
auch die Teilfunktion im 3.Intervall beeinflussen.
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