kritische stelle < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Do 08.01.2015 | | Autor: | LGS |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Bestimmen sie alle lokalen extrema und ihren Typ für die Funktion
$f : \IR^2 \to \IR, (x,y) \mapsto f(x,y)= xy*exp(-\frac{x^2+y^2}{2})$
In welchen Fällen handelt es sich um globales Extremum |
ja so erst mal alle partiellen ableitung. Ich werde die Rechnung zu den part.Ablet. nicht aufschreiben, habe sie jedoch mit diversen online Ableitungsrechnern verifiziert,sodass sie korrekt sind.
$\frac{df}{dx} = y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}$
$\frac{df^2}{dx^2}= {x}^{3}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}$
$\frac{df^2}{dxdy} = \frac{df^2}{dydx} $ laut dem tipp des Profs , gilt hier Cauchyschwarz
$\frac{df^2}{dxdy} = \frac{df^2}{dydx} = {x}^{2}{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}+{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}$
$\frac{df}{dy}=x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}$
$\frac{df^2}{dy^2}= x{y}^{3}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}$
so jetzt der Gradient
$\nabla f(x,y) = \vektor{y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}\\ x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}$
für kritische Stellen $\nabla f(x,y)=0 $
$ \nabla f(x,y)=0 \Rightarrow \vektor{y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}\\ x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}=0$
1.Gleichung $y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}=0 $
$<=> y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}={x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} $
$<=> y=x^2y$
$<=> y-x^2y =0$
$<=> (1-x^2)y =0 \Rightarrow y=0 , x=1 \wedge x =-1 $
krit. stellen $(1,0),(-1,0) $
2. Gleichung
$x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}=0 $
$<=> x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}=x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}} $
$<=> x=x{y}^{2} $
$<=> 0=x{y}^{2}-x $
$<=> 0=x({y}^{2}-1) \Rightarrow x = 0 , y=1 \wedge y=-1 $
krit. stellen $(0,1),(0,-1) $
plus die oberen werte $(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) $
Die werte $(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) $ fallen weg da dort $\nabla f(x,y) \neq 0 $
deshalb zu betrachten $(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),$
Nun die Hessematrix
$\pmat{ {x}^{3}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} & {x}^{2}{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}+{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} \\ {x}^{2}{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}+{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} & x{y}^{3}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} }$
$(1,1)$ eingesetzt
$\pmat{ -\frac{4}{e} & 0 \\ 0 & -\frac{4}{e}} \Rightarrow -\frac{4}{e}<0 \Rightarrow $lok.maximum
$(-1,-1)$ eingesetzt
$ \pmat{ -\frac{4}{e} & 0 \\ 0& -\frac{4}{e} } \Rightarrow-\frac{4}{e}<0 \Rightarrow $ lok.maximum
$(1,-1)$ eingesetzt
$\pmat{ \frac{4}{e} & 0 \\ 0 & \frac{4}{e}} \Rightarrow \frac{4}{e}>0 \Rightarrow $lok.minimum
$(-1,1)$ eingesetzt
$ \pmat{ \frac{4}{e} & 0 \\ 0 & \frac{4}{e}} \Rightarrow\frac{4}{e}>0 \Rightarrow $ lok.minimum
jetzt eingesetzt in $f(x,y)$
$f(1,1)=f(-1,-1) =\frac{1}{e}$
$f(-1,1)=f(1,-1) =-\frac{1}{e}$
wie geht das jetzt mit den globalen Extrema?
liebe grüße
lgs
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Hallo LGS,
> Bestimmen sie alle lokalen extrema und ihren Typ für die
> Funktion
>
> [mm]f : \IR^2 \to \IR, (x,y) \mapsto f(x,y)= xy*exp(-\frac{x^2+y^2}{2})[/mm]
>
> In welchen Fällen handelt es sich um globales Extremum
> ja so erst mal alle partiellen ableitung. Ich werde die
> Rechnung zu den part.Ablet. nicht aufschreiben, habe sie
> jedoch mit diversen online Ableitungsrechnern
> verifiziert,sodass sie korrekt sind.
>
> [mm]\frac{df}{dx} = y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}[/mm]
>
> [mm]\frac{df^2}{dx^2}= {x}^{3}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}[/mm]
>
> [mm]\frac{df^2}{dxdy} = \frac{df^2}{dydx}[/mm] laut dem tipp des
> Profs , gilt hier Cauchyschwarz
>
> [mm]\frac{df^2}{dxdy} = \frac{df^2}{dydx} = {x}^{2}{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}+{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}[/mm]
>
>
> [mm]\frac{df}{dy}=x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}[/mm]
>
>
> [mm]\frac{df^2}{dy^2}= x{y}^{3}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}[/mm]
>
>
>
>
> so jetzt der Gradient
>
>
> [mm]\nabla f(x,y) = \vektor{y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}\\ x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}[/mm]
>
>
> für kritische Stellen [mm]\nabla f(x,y)=0[/mm]
>
> [mm]\nabla f(x,y)=0 \Rightarrow \vektor{y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}\\ x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}=0[/mm]
>
>
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> 1.Gleichung
> [mm]y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}=0[/mm]
>
> [mm]<=> y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}={x}^{2}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}[/mm]
>
> [mm]<=> y=x^2y[/mm]
> [mm]<=> y-x^2y =0[/mm]
> [mm]<=> (1-x^2)y =0 \Rightarrow y=0 , x=1 \wedge x =-1[/mm]
>
> krit. stellen [mm](1,0),(-1,0)[/mm]
>
>
> 2. Gleichung
>
> [mm]x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}=0[/mm]
>
> [mm]<=> x{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}=x{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}}[/mm]
>
> [mm]<=> x=x{y}^{2}[/mm]
> [mm]<=> 0=x{y}^{2}-x[/mm]
> [mm]<=> 0=x({y}^{2}-1) \Rightarrow x = 0 , y=1 \wedge y=-1 [/mm]
>
> krit. stellen [mm](0,1),(0,-1)[/mm]
>
> plus die oberen werte
> [mm](1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),(0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) [/mm]
>
> Die werte [mm](0,1),(0,-1),(1,0),(-1,0) [/mm] fallen weg da dort
> [mm]\nabla f(x,y) \neq 0[/mm]
>
>
> deshalb zu betrachten [mm](1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1),[/mm]
>
Der Punkt [mm]\left(0,0\right)[/mm] ist auch ein möglicher Kandidat für ein Extremum.
> Nun die Hessematrix
>
> [mm]\pmat{ {x}^{3}y{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} & {x}^{2}{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}+{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} \\ {x}^{2}{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{y}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-{x}^{2}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}+{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} & x{y}^{3}{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}}-3xy{\cdot}{\mathrm{e}}^{\frac{-{y}^{2}-{x}^{2}}{2}} }[/mm]
>
>
> [mm](1,1)[/mm] eingesetzt
>
> [mm]\pmat{ -\frac{4}{e} & 0 \\ 0 & -\frac{4}{e}} \Rightarrow -\frac{4}{e}<0 \Rightarrow [/mm]lok.maximum
>
> [mm](-1,-1)[/mm] eingesetzt
>
> [mm]\pmat{ -\frac{4}{e} & 0 \\ 0& -\frac{4}{e} } \Rightarrow-\frac{4}{e}<0 \Rightarrow[/mm]
> lok.maximum
>
> [mm](1,-1)[/mm] eingesetzt
>
> [mm]\pmat{ \frac{4}{e} & 0 \\ 0 & \frac{4}{e}} \Rightarrow \frac{4}{e}>0 \Rightarrow [/mm]lok.minimum
>
> [mm](-1,1)[/mm] eingesetzt
>
> [mm]\pmat{ \frac{4}{e} & 0 \\ 0 & \frac{4}{e}} \Rightarrow\frac{4}{e}>0 \Rightarrow[/mm]
> lok.minimum
>
Statt der "4" in den Matrizen muss jeweils eine "2" stehen.
>
> jetzt eingesetzt in [mm]f(x,y)[/mm]
>
>
> [mm]f(1,1)=f(-1,-1) =\frac{1}{e}[/mm]
> [mm]f(-1,1)=f(1,-1) =-\frac{1}{e}[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> wie geht das jetzt mit den globalen Extrema?
>
Entscheide wo f den größten bzw. kleinsten Wert annimmt.
Das sind dann die globalen Extrema.
> liebe grüße
>
>
> lgs
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 Do 08.01.2015 | | Autor: | LGS |
ja hi
danke erstmal
(0,0) als extrema
in hesse eingesetzt [mm] \Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow \lambda [/mm] =0 [mm] \Rightarrow [/mm] semi definit damit keine Aussage über Extrema.
___________________________________________________________
Ich hab mir die Funktion mal 3D geplottet sieht aus wien teppich wo zwei hügel oben sind und zwei unten sind ,deshalb würde ich sagen $ f(1,1)=f(-1,-1) [mm] =\frac{1}{e} [/mm] $ ist das globale Maximum.
$ f(-1,1)=f(1,-1) [mm] =-\frac{1}{e} [/mm] $ ist das globale Minimum
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Hallo LGS,
> ja hi
>
> danke erstmal
>
>
> (0,0) als extrema
>
>
> in hesse eingesetzt [mm]\Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow \lambda[/mm] =0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> semi definit damit keine Aussage über Extrema.
>
> ___________________________________________________________
>
>
> Ich hab mir die Funktion mal 3D geplottet sieht aus wien
> teppich wo zwei hügel oben sind und zwei unten sind
> ,deshalb würde ich sagen [mm]f(1,1)=f(-1,-1) =\frac{1}{e}[/mm] ist
> das globale Maximum.
> [mm]f(-1,1)=f(1,-1) =-\frac{1}{e}[/mm] ist das globale Minimum
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:30 Fr 09.01.2015 | | Autor: | fred97 |
> ja hi
>
> danke erstmal
>
>
> (0,0) als extrema
>
>
> in hesse eingesetzt [mm]\Rightarrow \pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 0 } \Rightarrow \lambda[/mm] =0 [mm]\Rightarrow[/mm]
> semi definit damit keine Aussage über Extrema.
Und nun ? haben wir nun in (0,0) ein Extremum oder nicht ? Wenn der Hesse-Firlefanz keine Entscheidung liefert, sollte man sich was anderes einfallen lassen:
betrachte mal f(x,x) und f(x,-x).
FRED
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> ___________________________________________________________
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> Ich hab mir die Funktion mal 3D geplottet sieht aus wien
> teppich wo zwei hügel oben sind und zwei unten sind
> ,deshalb würde ich sagen [mm]f(1,1)=f(-1,-1) =\frac{1}{e}[/mm] ist
> das globale Maximum.
> [mm]f(-1,1)=f(1,-1) =-\frac{1}{e}[/mm] ist das globale Minimum
>
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