kritische Punkte/Hessematrix < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Die Funktion [mm] $f(x,y)=e^{x^2+y^2}-4x^2-4y^2, [/mm] (x,y) [mm] \in \IR$ [/mm] sei vorgelegt.
a) Bestimmen Sie die Menge K der kritischen Punkte von f.
b) Berechen Sie die Determinante der Hess-Matrix H, für alle Punkte (x,y) [mm] \in [/mm] K. Wo liegt sicher ein Extremum von f vor und welcher Art ist dieses? |
Hallo zusammen,
diese Aufgabe bereitet mir etwas Kopfschmerzen.
Ich habe:
[mm] $f_x [/mm] = [mm] 2xe^{x^2+y^2}-8x$
[/mm]
[mm] $f_y [/mm] = [mm] 2ye^{x^2+y^2}-8y$
[/mm]
[mm] $f_{xx}=4x^2e^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2}-8 [/mm] = [mm] (4x^2+2)e^{x^2+y^2}-8$
[/mm]
[mm] $f_{yy}=4y^2e^{x^2+y^2}+2e^{x^2+y^2}-8 [/mm] = [mm] (4y^2+2)e^{x^2+y^2}-8$
[/mm]
wenn ich nun rechne: [mm] $f_x [/mm] = 0$ komme ich auf: $ln 4 = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2$ [/mm] (für [mm] f_y [/mm] analog). Also ist doch die Menge K alle Punkte, die innerhalb des Kreises um den Punkt (0,0) mit Abstand ln 4, inklusive des Randes liegen?
zu b)
Hier habe ich die Hessematrix aufgestellt:
[mm] \pmat{f_{xx} & f_{xy}\\ f_{xy} & f_{yy}}
[/mm]
und komme auch die Determinante D:
$D= [mm] (4x^2+2)(4y^2+2)e^{2x^2+2y^2}+(-32y^2-16)e^{x^2+y^2}+64-16x^2y^2e^{2x^2+2y^2}$
[/mm]
Nun kann ich Punkte aus K raten, aber dies ist ja wohl nicht das Ziel der Aufgabe. Jemand einen Tip für mich? Danke.
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Hallo,
ich hatte oben ein Vorzeichenfehler in f: es muss [mm] $-4y^2$ [/mm] heißen. Damit sollte meine Ableitung stimmen. Also nur der Rand? Mh, ok. Muß ich nochmal überlegen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Fr 11.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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