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| Aufgabe | | Bestimmen Sie die kritischen Punkte von [mm] f(x,y)=x^3y-3xy+y^2+1 [/mm] und deren Typ. |
Hallo,
die partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{df}{dx} [/mm] = 3x^2y-3y
[mm] \bruch{df}{dy} [/mm] = [mm] x^3-3x+2y
[/mm]
[mm] \bruch{df}{dxy} =\bruch{df}{dyx} [/mm] = [mm] 3x^2-3
[/mm]
grad [mm] f(x,y)=(3x^2-3y,x^3-3x+2y) [/mm] = 0
3x^2y-3y=0
[mm] 3y(x^2-1)=0
[/mm]
y=0 oder x=1,-1
1.Fall y=0
[mm] x^3-3x=0
[/mm]
[mm] x(x^2-3)=0
[/mm]
x=0 oder [mm] x=\wurzel{3}, -\wurzel{3}
[/mm]
2.Fall x=1,x=-1
y=1,y=-1
Mögliche Extrema:
(0,0) [mm] (\wurzel{3},0) (-\wurzel{3},0) [/mm] (1,1) (-1,-1)
die zweite partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{df}{d^2x} [/mm] = 6xy
[mm] \bruch{df}{d^2y} [/mm] = 2
Hesse Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
6xy & 3x^2-3 \\
3x^2-3 & 2
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] H_f(0,0) [/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix} [/mm] hier liegt ein Sattelpunkt vor da in der Hesse-Matrix positive sowie negative Zahlen vorkommen.
[mm] H_f(\wurzel{3},0)
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & 6 \\
6 & 2
\end{pmatrix} [/mm] positiv definit daraus folgt ein Tiefpunkt
[mm] H_f(-\wurzel{3},0)
[/mm]
[mm] \begin{pmatrix}
0 & -12 \\
-12 & 2
\end{pmatrix}semidefinit [/mm] daraus folgt ein Sattelpunkt
[mm] H_f(1,1)\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix} [/mm] positiv definit also ein Tiefpunkt
[mm] H_f(-1,-1)\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}positiv [/mm] definit also ein Tiefpunkt
ist das richtig? Ich wundere mich dass ich kein Hochpunkt habe, habe ich mich irgendwo verrechnet? Wenn ja, kann mir einer sagen wo? :S
Lg,
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Hallo ellegance88,
> Bestimmen Sie die kritischen Punkte von
> [mm]f(x,y)=x^3y-3xy+y^2+1[/mm] und deren Typ.
> Hallo,
>
> die partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{df}{dx}[/mm] = 3x^2y-3y ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> [mm]\bruch{df}{dy}[/mm] = [mm]x^3-3x+2y[/mm]
>
> [mm]\bruch{df}{dxy} =\bruch{df}{dyx}[/mm] = [mm]3x^2-3[/mm]
>
> grad [mm]f(x,y)=(3x^2-3y,x^3-3x+2y)[/mm] = 0
>
> 3x^2y-3y=0
> [mm]3y(x^2-1)=0[/mm]
> y=0 oder x=1,-1
"," bedeutett "oder" ...
>
> 1.Fall y=0
>
> [mm]x^3-3x=0[/mm]
> [mm]x(x^2-3)=0[/mm]
> x=0 oder [mm]x=\wurzel{3}, -\wurzel{3}[/mm]
>
> 2.Fall x=1,x=-1
>
> y=1,y=-1
>
> Mögliche Extrema:
>
> (0,0) [mm](\wurzel{3},0) (-\wurzel{3},0)[/mm] (1,1) (-1,-1)
>
>
> die zweite partiellen Ableitungen:
>
> [mm]\bruch{df}{d^2x}[/mm] = 6xy
>
>
> [mm]\bruch{df}{d^2y}[/mm] = 2
>
> Hesse Matrix:
> [mm]\begin{pmatrix}
6xy & 3x^2-3 \\
3x^2-3 & 2
\end{pmatrix}[/mm]
>
>
> [mm]H_f(0,0)[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & -3 \\
-3 & 2
\end{pmatrix}[/mm] hier liegt ein
> Sattelpunkt vor da in der Hesse-Matrix positive sowie
> negative Zahlen vorkommen.
??
Hä? Wie lautet das Kriterium für Indefinitheit?
>
> [mm]H_f(\wurzel{3},0)[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & 6 \\
6 & 2
\end{pmatrix}[/mm] positiv definit daraus
> folgt ein Tiefpunkt
Sicher?
Diese Matrix hat doch einen positiven und einen negativen Eigenwert, wenn ich mich nicht auf die Schnelle verguckt habe ...
Damit haben wir was?
>
> [mm]H_f(-\wurzel{3},0)[/mm]
> [mm]\begin{pmatrix}
0 & -12 \\
-12 & 2
\end{pmatrix}semidefinit[/mm] daraus folgt
> ein Sattelpunkt
Das sollte doch dieselbe Hessematrix sein wie für [mm] $(\sqrt [/mm] 3,0)$
Wie kommst du auf die -12?
Die Definitheit ist wieder falsch
>
> [mm]H_f(1,1)\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}[/mm] positiv definit also ein
> Tiefpunkt
>
> [mm]H_f(-1,-1)\begin{pmatrix}
6 & 0 \\
0 & 2
\end{pmatrix}positiv[/mm] definit also ein
> Tiefpunkt
>
> ist das richtig? Ich wundere mich dass ich kein Hochpunkt
> habe, habe ich mich irgendwo verrechnet? Wenn ja, kann mir
> einer sagen wo? :S
Du kannst dir den Graphen ja mal bei Wolfram Alpha plotten lassen, das ist immer hilfreich!
>
> Lg,
Gruß
schachuzipus
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Ja okay habe mein Fehler gesehen.
Hab einfach nur auf Hesse-Matrix geachtet und nicht auf die Eigenwerte wenn ich Hesse-Matrix für (Wurzel 3,0) angucke habe ich auch zwei Eigenwerte raus ein positives sowie ein negatives also liegt da ein Sattelpunkt vor. Danke :)
aber die Annahme das da kein Hochpunkt liegt war ja richtig :)
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