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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:05 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
| Aufgabe | 1.) Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{n^2 + 2n}{n^2 +1}.
[/mm]
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] ist monoton.
2.) Sei [mm] a_n [/mm] = [mm] (-1)^n \bruch{e^n}{4^n + 5}.
[/mm]
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] ist eine Cauchy-Folge.
3.) Sei [mm] a_n [/mm] = n + [mm] \bruch{1}{n}.
[/mm]
[mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] ist beschränkt.
4.) Ist [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] gegen a konvergent, so gibt es eine monoton fallende Teilfolge von [mm] (a_n)_{n\in\IN} [/mm] , die gegen a konvergent ist. |
Hallo,
also das sind meine Ergebnisse, wir sollen hier nicht rechnen, sondern nur korrekt oder nicht korrekt angeben, ohne Beweise oder ähnliches.
1.) korrekt
2.) korrekt
3.) nicht korrekt
4.) nicht korrekt
zu den jeweiligen Aufgaben
1.) ist monoton, ob streng monoton oder monoton, sollte egal sein.
2.) ist per Definition eine Cauchy-Folge.
3.) warum soll sie beschränkt sein, geht doch gegen unendlich, oder??
4.) es kann doch auch eine monoton steigendeTeilfolge geben, je nach [mm] (a_n), [/mm] oder nicht??
Sind meine Überlegungen richtig??
Gruss,
X-Metal
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> 1.) Sei [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{n^2 + 2n}{n^2 +1}.[/mm]
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm]
> ist monoton.
> 2.) Sei [mm]a_n[/mm] = [mm](-1)^n \bruch{e^n}{4^n + 5}.[/mm]
>
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] ist eine Cauchy-Folge.
> 3.) Sei [mm]a_n[/mm] = n + [mm]\bruch{1}{n}.[/mm]
> [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] ist beschränkt.
> 4.) Ist [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] gegen a konvergent, so gibt es
> eine monoton fallende Teilfolge von [mm](a_n)_{n\in\IN}[/mm] , die
> gegen a konvergent ist.
> Hallo,
>
> also das sind meine Ergebnisse, wir sollen hier nicht
> rechnen, sondern nur korrekt oder nicht korrekt angeben,
> ohne Beweise oder ähnliches.
>
> 1.) korrekt
> 2.) korrekt
> 3.) nicht korrekt
> 4.) nicht korrekt
>
> zu den jeweiligen Aufgaben
> 1.) ist monoton, ob streng monoton oder monoton, sollte
> egal sein.
Hallo,
hast du mal die ersten Folgengliedr ausgerechnet?
> 2.) ist per Definition eine Cauchy-Folge.
Wieso nach Definition?
> 3.) warum soll sie beschränkt sein, geht doch gegen
> unendlich, oder??
Das sieht mir auch so aus.
> 4.) es kann doch auch eine monoton steigendeTeilfolge
> geben, je nach [mm](a_n),[/mm] oder nicht??
Ja, z.B. wenn [mm] (a_n) [/mm] wächst.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:48 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Hallo Angela,
worauf bezieht sich Deine frage mit der Ausrechnung der ersten Folgenglieder?? Zu 1.)?? Hier fallen die Werte doch, insofern würde ich sagen, sie ist monoton.
Gruss,
X-metal
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> worauf bezieht sich Deine frage mit der Ausrechnung der
> ersten Folgenglieder?? Zu 1.)??
Ja.
Hast Du die ersten Glieder ausgerechnet?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:16 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
Ja,
für n = 1,...,5
also [mm] \bruch{3}{2}, \bruch{8}{5}, \bruch{15}{10}, \bruch{24}{17}, \bruch{35}{26}
[/mm]
dies bedeutet doch, dass die folge monoton fallend ist, da [mm] (a)_n \ge (a)_{n+1} [/mm] ist, bzw streng monoton fallend, wenn [mm] (a)_n [/mm] > [mm] (a)_{n+1} [/mm] ist.
monoton bedeutet doch nur, dass sie entweder monoton wachsend oder monoton fallend ist, und diese Folge ist doch monoton fallend
irre ich mich??
zu 2.) Satz: Eine Cauchy-Folge ist also eine Folge, deren Elemente mit zunehmenden Index immer weiter zusammenrücken.
Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
Die gegebene Folge ist doch konvergent.
irre ich mich hier auch??
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> Ja,
>
> für n = 1,...,5
>
> also [mm][mm] \bruch{3}{2}, \bruch{8}{5}, \bruch{15}{10}
[/mm]
Hast Du mal die Dezimalzahlen aufgeschrieben?
>
> zu 2.) Satz: Eine Cauchy-Folge ist also eine Folge, deren
> Elemente mit zunehmenden Index immer weiter
> zusammenrücken.
> Satz: Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge.
>
> Die gegebene Folge ist doch konvergent.
>
> irre ich mich hier auch??
Das mit der Konvergenz ist eine nachvollziehbare Begründung.
Du schriebst Cauchyfolge nach Definition, das habe ich nicht verstehen können.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:42 Do 29.11.2007 | | Autor: | X-Metal |
also weiter zu 1.)
1,5
1,6 oh mist
1,5 oh mist
1,41
1,35
also für n=2 gibt es wohl einen ausreisser, und n=1 ist gleich n=3
dann scheint die folge wohl nicht monoton zu sein
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