konvexe Linearkombination < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:48 Mo 30.05.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Sei I endliche Teilmenge von [mm] \IN [/mm] mit {0,1,2} [mm] \subset [/mm] I.
Sei [mm] M={ x^{(v)} | v \in I } \subset \IR^{n} [/mm] eine Menge
paarweise verschiedener Punkte, wobei
[mm] x^{(0)} = a_{0} x^{(1)} + (1 - a_{0}) x^{(2)} [/mm] mit [mm] 0
[mm] x^{(v)} [/mm] heißt zerlegbar, wenn
[mm] x^{(v)} = a_{v} x^{(2v+1)} + (1 - a_{v}) x^{(2v+2)} [/mm] mit [mm] 0 < a_{v} < 1 [/mm]
Zeigen Sie: [mm] x^{(0)} [/mm] ist als konvexe Linearkombination der nichtzerlegbaren Punkte in M darstellbar.
Ich habe mir überlegt, dass es ja quasie einen Binärbaum darstellt. und mann kann ja immer die [mm] x^{(i)} [/mm] durch ihre zwei Kinder darstellen. Da M endlich ist hört dieser Prozess irgendwann auf und am Ende wird dann [mm] x^{(0)} [/mm] nur noch durch nicht mehr Zerlegbare Vektoren dargestellt. Aber ich habe leider überhaupt keine Ahnung, wie ich das formal korrekt aufschreiben soll. Induktion hilft mir doch nicht weiter oder?
Vielen Dank für eure Hilfe.
Grüße Toyo
|
|
| |
|
Hallo!
Der Schritt ist eigentlich ganz einfach: Wäre [mm] $x_0$ [/mm] nicht durch nicht zerlegbare darstellbar, so wäre zu jeder Zerlegung eine Verfeinerung zu finden. Wenn du in einer Zerlegung mit [mm] $\nu_0$ [/mm] den kleinsten Index bezeichnest mit [mm] $x^{(\nu_0)}$ [/mm] zerlegbar, so kannst du [mm] $\nu_0$ [/mm] um mindestens 1 erhöhen, indem du [mm] $x^{(\nu_0)}$ [/mm] zerlegst. Dann wächst nach $N$ Schritten [mm] $\nu_0$ [/mm] über diese Grenze hinaus, wobei $N$ das größte Element von $I$ ist. Das ist aber ein Widerspruch.
Gruß, banachella
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Toyo |
Hi, aber ist da vielleicht ein Widerspruch vor dem eigentlichen Widerspruch in deinem Widerspruchsbeweiß?
Wenn du sagst [mm] x^{(v_{0})} [/mm] ist nicht zerlegbar, so kannst du ... ,in dem zu [mm] x^{(v_{0})} [/mm] zerlegst. Du hast am Anfang geschrieben, der Schritt, soll dies hier der Teil einer Induktion sein?
Mir ist schon klar, dass [mm] x^{(0)} [/mm] immer als Zerlegung von nicht mehr Zerlegbaren Elementen ausgedrückt werden kann, da es endlich viele Elemente sind, aber wie zeigt man dies mathematisch korrekt im Sinne der Aufgabenstellung?
Bitte helft mir nochmal.
Grüße Toyo
|
|
|
| |
|
Hallo!
Da ist tatsächlich ein Tippfehler. Es müsste natürlich heißen "Sei [mm] $v_0$ [/mm] der kleinste Index mit [mm] $x_{v_0}$ [/mm] zerlegbar." Ich werd's gleich korrigieren!
Also: Bezeichne [mm] $N:=\max\{v\in I\}$.
[/mm]
Angenommen, [mm] $x_0$ [/mm] ist nicht als Konvexkombination aus nicht zerlegbaren Elementen von $M$ darstellbar.
Sei [mm] $x_0=a_0x_1+(1-a_0)x_2$ [/mm] die $0$-te Konvexkombination.
Sei [mm] $x_0=\summe_{v\in V_n} c_v x_v$ [/mm] die $n$-te Konvexkombination. Sei [mm] $v_n$ [/mm] der kleinste Index aus dieser Konvexkombination, der zu einem zerlegbaren [mm] $x_v$ [/mm] gehört. (Dieses [mm] $v_0$ [/mm] existiert nach Voraussetzung.)
Wir konstruieren die $n+1$-Konvexkombination, indem wir [mm] $x_{v_n}$ [/mm] zerlegen. Setze [mm] $V_{n+1}:=V_n\setminus {v_n}\cup \{v_{2n+1},v_{2n+2}\}$.
[/mm]
Insbesondere ist [mm] $v_{n+1}\ge v_n+1$.
[/mm]
Nach dem $N$-ten Schritt ist damit [mm] $v_{N+1}>N$. [/mm] Das ist ein Widerspruch.
Gruß, banachella
|
|
|
|
