konvexe Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:22 Sa 18.12.2004 | | Autor: | nemo102 |
Hallo!
Ich muss folgenden Satz beweisen:
1. Die Grenzfunktion einer Folge konvexer Funktionen ist konvex.
Beweis:
1. Mit diesem Teil des Beweises bin ich nicht zurecht gekommen. Also hier meine Ansätze:
Wir betrachten eine Folge [mm] f_1(x), f_2(x), f_3(x), [/mm] ... von Funtionen, die alle im gleichen Intervall definiert und konvex sein sollen. Es existiert außerdem der Limes: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f_n(x) [/mm] für alle x des Intervalls. Bildet man den Ausdruck
[mm] \bruch{x_1(f(x_2)-f(x_3))+x_2(f(x_3)-f(x_1))+x_3(f(x_1)-f(x_2))}{(x_1-x_2)(x_2-x_3)(x_3-x_1)}
[/mm]
[mm] \ge [/mm] 0
für [mm] f_n(x) [/mm] bei beliebigen, aber festen Werten [mm] x_1, x_2, x_3 [/mm] und geht zum Limes über, so ergibt sich die Konvexität von f(x).
Der letzte Teil des Beweises war ein Tipp von einem meiner Kommilitonen. Leider kann ich ihn nicht umsetzen. Kann mir jemand von euch helfen?
Gruß Nemo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:48 Mo 27.12.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Also: Für alle $n [mm] \in \IN$, $\lambda \in [/mm] (0,1)$ und alle $x,y [mm] \in [/mm] I$ (wenn ich mit $I$ das Intervall bezeichne, auf dem alle [mm] $f_n$ [/mm] definiert und konvex sind) gilt:
[mm] $f_n(\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y) \le \lambda f_n(x) [/mm] + [mm] (1-\lambda)f_n(y)$.
[/mm]
Wir vollziehen jetzt auf beiden Seiten für feste [mm] $x,y,\lambda$ [/mm] den Grenzübergang für $n [mm] \to \infty$. [/mm] Ungleichen bleiben, sofern sie nicht echt sind, unter Grenzwertbildungen erhalten. Das heißt es gilt:
[mm] $\lim\limits_{n \to \infty} [f_n(\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y) ]\le \lim\limits_{n \to \infty}[ \lambda f_n(x) [/mm] + [mm] (1-\lambda)f_n(y)]$.
[/mm]
Mit Hilfe der Grenzwertsätze erhalten wir:
[mm] $f(\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda)y) \le \lambda [/mm] f(x) + [mm] (1-\lambda)f(y)$,
[/mm]
d.h. auch $f$ ist konvex.
Liebe Grüße
Stefan
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